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確率微分方程式の解の存在性と一意性、強い解と弱い解 📂確率微分方程式

確率微分方程式の解の存在性と一意性、強い解と弱い解

定義 1

確率空間 (Ω,F,P)( \Omega , \mathcal{F} , P) と フィルトレーション {Ft}t≥0\left\{ \mathcal{F}_{t} \right\}_{t \ge 0} が与えられているとする。 f:[0,T]×Rn→Rng:[0,T]×Rn→Rn×m \begin{align*} f &: [0,T] \times \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{n} \\ g &: [0,T] \times \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{n \times m} \end{align*} 2つの関数 ff、gg と Ft\mathcal{F}_{t}-適応された mm次元の ウィーナー過程 WtW_{t} について、次のような nn次元の 確率微分方程式 を考える。 dXt=f(t,Xt)dt+g(t,Xt)dWt d X_{t} = f \left( t, X_{t} \right) dt + g \left( t, X_{t} \right) d W_{t}

  1. 連続で FtF_{t}-適応された 確率過程 {Xt}\left\{ X_{t} \right\} が全ての t∈[0,T]t \in [0 , T] でほとんど確実に方程式を成立させ、f∈L1[0,T]f \in L^{1} [0,T] かつ g∈L2[0,T]g \in L^{2} [0,T] ならば、{Xt}\left\{ X_{t} \right\} を与えられた方程式の解solutionという。
  2. {Xt}\left\{ X_{t} \right\} でない他のすべての解 {Xt~}\left\{ \tilde{X_{t}} \right\} に対して次が成立するならば、この解は 一意uniqueであると言う。 P(Xt=Xt~,t∈[0,T])=1 P \left( X_{t} = \tilde{X_{t}} , t \in [0, T] \right) = 1

定理: 存在性と一意性 2

  • (i) リニア成長条件: ある定数 CC、x∈Rnx \in \mathbb{R}^{n}、と t∈[0,T]t \in [0,T] に対して ∣f(t,x)∣+∣g(t,x)∣≤C(1+∣x∣) \left| f \left( t , x \right) \right| + \left| g \left( t , x \right) \right| \le C \left( 1 + \left| x \right| \right)
  • (ii) ユニフォームリプシッツ条件: ある定数 DD、x,y∈Rnx , y \in \mathbb{R}^{n}、と t∈[0,T]t \in [0,T] に対して ∣f(t,x)−f(t,y)∣+∣g(t,x)−g(t,y)∣≤D∣x−y∣ \left| f(t,x) - f(t,y) \right| + \left| g(t,x) - g(t,y) \right| \le D \left| x - y \right|

上記の2つの条件が満たされる場合、次の確率微分方程式 dXt=f(t,Xt)dt+g(t,Xt)dWt d X_{t} = f \left( t, X_{t} \right) dt + g \left( t, X_{t} \right) d W_{t} は、次の性質を持つ一意の解 XtX_{t} を持つ。 sup⁡t∈[0,T]E[∣Xt∣2]<∞ \sup_{t \in [0,T]} E \left[ \left| X_{t} \right|^{2} \right] < \infty

  • ∣g∣|g| は 行列 の フロベニウスノルム ∣g∣2=∑i,j∣gij∣2|g|^{2} = \sum_{i,j} \left| g_{ij} \right|^{2} を意味する。

強い解と弱い解

上の定理によって存在性が保証されるその解 XtX_{t} を 強い解strong solutionという。XtX_{t} は、私たちがブラウン運動 WtW_{t} をよく知っている状況、即ち与えられた確率空間 (Ω,F,P)( \Omega , \mathcal{F} , P) についての情報が十分にあり、WtW_{t} が Ft\mathcal{F}_{t}-適応されるという仮定の下で得られた解と見なされる。

一方で、ff と gg のみが与えられた状態、即ち WtW_{t} に関する情報が提供されていない場合、ある ((X~t,W~t),F~t)\left( \left( \tilde{X}_{t} , \tilde{W}_{t} \right) , \tilde{F}_{t} \right) が存在して与えられた確率微分方程式を満たすとき、これを 弱い解weak solutionという。正確には、解と (X~t,W~t)\left( \tilde{X}_{t} , \tilde{W}_{t} \right) のペア、W~t\tilde{W}_{t} はフィルトレーション F~t\tilde{F}_{t} に適応されたブラウン運動（F~t\tilde{F}_{t} に対してマルチンゲールなブラウン運動）で、弱い解である。ここでは、X~t\tilde{X}_{t} も Ft\mathcal{F}_{t}-適応される必要は特にない。

もちろん、強い解は弱い解でもあるが、その逆は成り立たない。弱い解は、いわば明らかに解でありながら、数学的に厳密に解と呼べない、方程式を何となく満たす解と見なすことができる。

例: タナカ方程式 1

dXt=sign⁡(Xt)dWt d X_{t} = \operatorname{sign} \left( X_{t} \right) d W_{t} 上記の確率微分方程式は タナカ方程式Tanaka equationと呼ばれる。ここでは sign⁡\operatorname{sign} は符号を意味する。この場合、拡散 g(t,Xt)=sign⁡(Xt)g \left( t , X_{t} \right) = \operatorname{sign} \left( X_{t} \right) が 00 の近くでリプシッツ条件を満たさないため、強い解の存在性が保証されず、実際には存在しないことも示されうる。その厳密な証明は簡単ではないので省略する。

しかし、弱い解を考えると、どんなブラウン運動でもタナカ方程式の解になり得る。dXtdX_{t} は dWtdW_{t} にのみ影響を及ぼし、dWtdW_{t} の符号がどうであれ、dWtdW_{t} が負の確率と正の確率がちょうど半分ずつであるため、考慮する意味はない。

任意のブラウン運動 BtB_{t} について Xt=BtX_{t} = B_{t} とし、次のように定義する。 B~t:=∫0tsign⁡(Bs)dBs=∫0tsign⁡(Xs)dXs \tilde{B}_{t} := \int_{0}^{t} \operatorname{sign} \left( B_{s} \right) d B_{s} = \int_{0}^{t} \operatorname{sign} \left( X_{s} \right) d X_{s} tt を微分すると dB~t=sign⁡(Xt)dXt d \tilde{B}_{t} = \operatorname{sign} \left( X_{t} \right) d X_{t} 両辺に sign⁡(Xt)\operatorname{sign} \left( X_{t} \right) を掛けると (sign⁡(Xt))2=1\left( \operatorname{sign} \left( X_{t} \right) \right)^{2} = 1 となるため、 dXt=sign⁡(Xt)dB~t d X_{t} = \operatorname{sign} \left( X_{t} \right) d \tilde{B}_{t} 言い換えれば、Xt=BtX_{t} = B_{t} はタナカ方程式を満たす弱い解となる。

  1. Panik. (2017). Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications in Population Dynamics Modeling: p134. ↩︎ ↩︎

  2. Øksendal. (2003). Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications: p66~70. ↩︎