確率微分方程式の解の存在性と一意性、強い解と弱い解
定義 1
確率空間 $( \Omega , \mathcal{F} , P)$ と フィルトレーション $\left\{ \mathcal{F}_{t} \right\}_{t \ge 0}$ が与えられているとする。 $$ \begin{align*} f &: [0,T] \times \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{n} \\ g &: [0,T] \times \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{n \times m} \end{align*} $$ 2つの関数 $f$、$g$ と $\mathcal{F}_{t}$-適応された $m$次元の ウィーナー過程 $W_{t}$ について、次のような $n$次元の 確率微分方程式 を考える。 $$ d X_{t} = f \left( t, X_{t} \right) dt + g \left( t, X_{t} \right) d W_{t} $$
- 連続で $F_{t}$-適応された 確率過程 $\left\{ X_{t} \right\}$ が全ての $t \in [0 , T]$ でほとんど確実に方程式を成立させ、$f \in L^{1} [0,T]$ かつ $g \in L^{2} [0,T]$ ならば、$\left\{ X_{t} \right\}$ を与えられた方程式の解solutionという。
- $\left\{ X_{t} \right\}$ でない他のすべての解 $\left\{ \tilde{X_{t}} \right\}$ に対して次が成立するならば、この解は 一意uniqueであると言う。 $$ P \left( X_{t} = \tilde{X_{t}} , t \in [0, T] \right) = 1 $$
定理: 存在性と一意性 2
- (i) リニア成長条件: ある定数 $C$、$x \in \mathbb{R}^{n}$、と $t \in [0,T]$ に対して $$ \left| f \left( t , x \right) \right| + \left| g \left( t , x \right) \right| \le C \left( 1 + \left| x \right| \right) $$
- (ii) ユニフォームリプシッツ条件: ある定数 $D$、$x , y \in \mathbb{R}^{n}$、と $t \in [0,T]$ に対して $$ \left| f(t,x) - f(t,y) \right| + \left| g(t,x) - g(t,y) \right| \le D \left| x - y \right| $$
上記の2つの条件が満たされる場合、次の確率微分方程式 $$ d X_{t} = f \left( t, X_{t} \right) dt + g \left( t, X_{t} \right) d W_{t} $$ は、次の性質を持つ一意の解 $X_{t}$ を持つ。 $$ \sup_{t \in [0,T]} E \left[ \left| X_{t} \right|^{2} \right] < \infty $$
強い解と弱い解
上の定理によって存在性が保証されるその解 $X_{t}$ を 強い解strong solutionという。$X_{t}$ は、私たちがブラウン運動 $W_{t}$ をよく知っている状況、即ち与えられた確率空間 $( \Omega , \mathcal{F} , P)$ についての情報が十分にあり、$W_{t}$ が $\mathcal{F}_{t}$-適応されるという仮定の下で得られた解と見なされる。
一方で、$f$ と $g$ のみが与えられた状態、即ち $W_{t}$ に関する情報が提供されていない場合、ある $\left( \left( \tilde{X}_{t} , \tilde{W}_{t} \right) , \tilde{F}_{t} \right)$ が存在して与えられた確率微分方程式を満たすとき、これを 弱い解weak solutionという。正確には、解と $\left( \tilde{X}_{t} , \tilde{W}_{t} \right)$ のペア、$\tilde{W}_{t}$ はフィルトレーション $\tilde{F}_{t}$ に適応されたブラウン運動（$\tilde{F}_{t}$ に対してマルチンゲールなブラウン運動）で、弱い解である。ここでは、$\tilde{X}_{t}$ も $\mathcal{F}_{t}$-適応される必要は特にない。
もちろん、強い解は弱い解でもあるが、その逆は成り立たない。弱い解は、いわば明らかに解でありながら、数学的に厳密に解と呼べない、方程式を何となく満たす解と見なすことができる。
例: タナカ方程式 1
$$ d X_{t} = \operatorname{sign} \left( X_{t} \right) d W_{t} $$ 上記の確率微分方程式は タナカ方程式Tanaka equationと呼ばれる。ここでは $\operatorname{sign}$ は符号を意味する。この場合、拡散 $g \left( t , X_{t} \right) = \operatorname{sign} \left( X_{t} \right)$ が $0$ の近くでリプシッツ条件を満たさないため、強い解の存在性が保証されず、実際には存在しないことも示されうる。その厳密な証明は簡単ではないので省略する。
しかし、弱い解を考えると、どんなブラウン運動でもタナカ方程式の解になり得る。$dX_{t}$ は $dW_{t}$ にのみ影響を及ぼし、$dW_{t}$ の符号がどうであれ、$dW_{t}$ が負の確率と正の確率がちょうど半分ずつであるため、考慮する意味はない。
任意のブラウン運動 $B_{t}$ について $X_{t} = B_{t}$ とし、次のように定義する。 $$ \tilde{B}_{t} := \int_{0}^{t} \operatorname{sign} \left( B_{s} \right) d B_{s} = \int_{0}^{t} \operatorname{sign} \left( X_{s} \right) d X_{s} $$ $t$ を微分すると $$ d \tilde{B}_{t} = \operatorname{sign} \left( X_{t} \right) d X_{t} $$ 両辺に $\operatorname{sign} \left( X_{t} \right)$ を掛けると $\left( \operatorname{sign} \left( X_{t} \right) \right)^{2} = 1$ となるため、 $$ d X_{t} = \operatorname{sign} \left( X_{t} \right) d \tilde{B}_{t} $$ 言い換えれば、$X_{t} = B_{t}$ はタナカ方程式を満たす弱い解となる。