📂確率微分方程式

部分積分(ぶぶんせきぶん)

定理 ¹

$[0,t]$でバウンドされた連続関数 $f(s,\omega) = f(s)$が$s$にのみ依存している場合、
$$ \int_{0}^{t} f(s) d W_{s} = f (t) W_{t} - \int_{0}^{t} W_{s} d f (s) $$

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• $W_{t}$はウィーナー過程だ。

説明

イット積分[../2111]に関する定理で、我々が通常知っている部分積分法と大きく異なるわけではない。積分される関数が変わったことに注意が必要だ。導出も通常の部分積分法と同様だ。

$$ \begin{align*} & {{ d } \over { ds }} f(s) W_{s} = {{ d } \over { ds }} f(s) \cdot W_{s} + f(s) {{ d } \over { ds }} W_{s} \\ \implies& \int_{0}^{t} d f(s) W_{s} = \int_{0}^{t} W_{s} d f(s) + \int_{0}^{t} f(s) d W_{s} \\ \implies& f (t) W_{t} = \int_{0}^{t} f(s) d W_{s} + \int_{0}^{t} W_{s} d f (s) \end{align*} $$