📂確率微分方程式

伊藤乗算表

ビルドアップ

$s< t < t+u$ と言うとき、次の条件を満たす確率過程 $\left\{ W_{t} \right\}$ をウィーナー過程と呼ぶ。

• (i): $W_{0} = 0$
• (ii): $\left( W_{t+u} - W_{t} \right) \perp W_{s}$
• (iii): $\left( W_{t+u} - W_{t} \right) \sim N ( 0, u )$
• (iv): $W_{t}$ のサンプルパスはほぼ全ての場所で連続である。

ウィーナー過程は次のような性質を持つ。

• [1]: $\displaystyle W_{t} \sim N ( 0 , t )$
• [2]: $\displaystyle E ( W_{t} ) = 0$
• [3]: $\displaystyle \operatorname{Var} ( W_{t} ) = t$
• [4]: $\displaystyle \text{cov} ( W_{t} , W_{s} ) = {{1} \over {2}} (|t| + |s| - |t-s|) = \min \left\{ t , s \right\}$

ウィーナー過程 $\left\{ W_{t} \right\}_{t \ge 0}$ の非常に短い微小区間 $\left[ t , t + d t \right]$ を考えてみる。解析的に厳密な仮定ではないが、$dt > 0$ は $\left( dt \right)^{1/2} > 0$ であり、全ての$k = 2 , 3, \cdots$に対して $\left( dt \right)^{k} = 0$ と扱えるほど小さいとしよう。代数的な用語を借りれば、これらの仮定の下で、我々は $\alpha + \beta dt$ を二項係数として扱うのだ。

さて、$dW_{t} := W_{t + dt} - W_{t}$ と定義したとき $dt$ と $d W_{t}$ の間の積を考えてみよう。

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Part 1. $\left( dt \right)^{2} = 0$

もちろん $dt > 0$ だが、$dt$ が非常に小さいため $\left( dt \right)^{2} = 0$ としよう。

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Part 2. $dt d W_{t} = 0$

$W_{t}$ はウィーナー過程と仮定したため、正規分布に従い $d W_{t} \sim N \left( 0, \sqrt{dt}^{2} \right)$ となる。

平均と分散の性質:

• [2]: $E(aX + b) = a E(X) + b$
• [5]: $\operatorname{Var} (aX + b) = a^2 \operatorname{Var} (X)$

$dt d W_{t}$ の期待値は定数 $dt$ が外に出る $$ E \left( dt d W_{t} \right) = dt E \left( d W_{t} \right) = dt \cdot 0 = 0 $$ $dt d W_{t}$ の分散も $dt$ が二乗を取って外に出るため $$ \operatorname{Var} \left( dt d W_{t} \right) = (dt)^{2} \operatorname{Var} \left( d W_{t} \right) = 0 \cdot \operatorname{Var} \left( d W_{t} \right) = 0 $$ これによれば $dt d W_{t}$ は分散が $0$ なので定数であり、期待値が $0$ なので正確に $$ dt d W_{t} = d W_{t} dt = 0 $$ でなければならない。

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Part 3. $\left( d W_{t} \right)^{2} = dt$

$\operatorname{Var} \left( d W_{t} \right) = dt$ から $d W_{t} \cdot d W_{t}$ の期待値を求めると $$ \begin{align*} dt =& \operatorname{Var} \left( d W_{t} \right) \\ =& E \left( \left( d W_{t} \right)^{2} \right) - \left[ E \left( d W_{t} \right) \right]^{2} \\ =& E \left( \left( d W_{t} \right)^{2} \right) - 0^{2} \end{align*} $$ となるので $E \left( \left( d W_{t} \right)^{2} \right) = dt$ だ。

平均が0の正規分布に従う確率変数の累乗の期待値: 確率変数 $X$ が 正規分布 $N \left( 0 , \sigma^{2} \right)$ に従うとき、その累乗 $X^{n}$ の期待値は次のように再帰的な公式で表される。 $$ E \left( X^{n} \right) = (n - 1) \sigma^{2} E \left( X^{n-2} \right) $$ $E \left( X^{n} \right)$ は $n$ が奇数のとき $0$ であり、偶数のとき次のようになる。 $$ E \left( X^{2n} \right) = \left( 2n - 1 \right)!! \sigma^{2n} $$ ここでびっくりマークが二つ入っている $k!! = k \cdot \left( k - 2 \right) \cdots$ はダブル階乗を表す。

$d W_{t} \sim N \left( 0, \sqrt{dt}^{2} \right)$ と仮定したので $d W_{t}$ は平均が $0$ の正規分布に従い、$\left( d W_{t} \right)^{2}$ の分散は確率変数累乗の期待値公式 $E \left( X^{2n} \right) = \left( 2n - 1 \right)!! \sigma^{2n}$ によって $$ \begin{align*} \operatorname{Var} \left( \left( d W_{t} \right)^{2} \right) =& E \left( \left[ \left( d W_{t} \right)^{2} \right]^{2} \right) - \left[ E \left( \left( d W_{t} \right)^{2} \right) \right]^{2} \\ =& E \left( \left( d W_{t} \right)^{2 \cdot 2} \right) - \left[ dt \right]^{2} \\ =& \left( 2 \cdot 2 - 1 \right) \sqrt{dt}^{2 \cdot 2} - dt^{2} \\ =& 3 dt^{2} - dt^{2} \\ =& 2 dt^{2} \\ =& 0 \end{align*} $$ となる。これによれば $\left( d W_{t} \right)^{2}$ は分散が $0$ なのでただの定数であり、期待値が $dt$ なので正確に $$ \left( d W_{t} \right)^{2} = dt $$ でなければならない。

要約 ¹

$\alpha + \beta dt$ を二項係数と仮定しよう。 $dt$ と $d W_{t}$ の積は次のようになる。 $$ \begin{align*} \left( dt \right)^{2} =& 0 \\ dt d W_{t} =& 0 \\ d W_{t} dt =& 0 \\ \left( d W_{t} \right)^{2} =& dt \end{align*} $$