📂確率微分方程式

m2 空間

定義 ^{1 2}

確率空間 $( \Omega , \mathcal{F} , P)$ が与えられているとする。

1. $\mathcal{F}$ のサブシグマフィールドのシーケンス $\left\{ \mathcal{F}_{t} \right\}_{t \ge 0}$ が以下を満たすとき、フィルトレーション^filtrationと呼ぶ。 $$\forall s < t, \mathcal{F}_{s} \subset \mathcal{F}_{t}$$
2. 確率過程 $g(t,\omega) : [0,\infty) \times \Omega \to \mathbb{R}^{n}$ がすべての $t \ge 0$ で $\omega \mapsto g (t,\omega)$ が $\mathcal{F}_{t}$-可測であれば $\mathcal{F}_{t}$-適応^{$\mathcal{F}_t$-Adapted}という。
3. 区間 $I := [a,b]$ について、以下の三つの条件を満たす関数たちの集まりを $m^{2} = m^{2} [a,b]$ と表示する。特にこの $I$ を伊藤積分のナチュラルドメイン^{natural Domain}と呼ぶ。
   • (i): $\mathcal{B}$ が $[0, \infty)$ のボレルシグマフィールドに対して$(t, \omega) \mapsto f(t, \omega)$ が $\mathcal{B} \times \mathcal{F}$-可測である。
   • (ii): $f (t,\omega)$ が $\mathcal{F}_{t}$-適応である。
   • (iii): ヒルベルト空間の構造である。つまり、 $$\left\| f \right\|_{2}^{2} \left( [a,b] \right) = E \left( \int_{a}^{b} \left| f(t,\omega) \right|^{2} dt \right) < \infty$$

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• $\mathcal{F}_{t}$ が $\mathcal{F}$ のサブシグマフィールドであることは、両方が $\Omega$ のシグマフィールドであるが、$\mathcal{F}_{t} \subset \mathcal{F}$ であることを意味する。
• $f$ が $\mathcal{F}_{t}$-可測関数であることは、すべてのボレルセット $B \in \mathcal{B}([0,\infty))$ に対して $f^{-1} (B) \in \mathcal{F}_{t}$ であるという意味だ。

説明

フィルトレーションが与えられた場合、確率過程 $f$ が $\mathcal{F}_{t}$-可測であることは、時点 $t$ までの歴史や情報を持っているとも見なすことができる。フィルトレーションは、時間とともに情報が増えるという概念と一致する、より大きなサブシグマフィールドのシーケンスだ。

$m^{2}$ 空間という命名は、条件(iii)で見るように、$L^{2}$ 空間から来ているのは自然なことだ。