📂幾何学

平面曲線の回転数

ビルドアップ

平面曲線のタンジェントがどれだけ回転するかを議論する前に、適切な角度関数のようなものを先に考えたい。平面で、水平線(x軸)と点 $p$ で作られるタンジェント $t$ への角の大きさを $\overline{\theta} (p)$ と表すことにしよう。問題はその値が $0 \le \overline{\theta} \le 2\pi$ であり、$0$ から $\overline{\theta}$ までが連続でないということだ。

これを克服するために、私たちが考えるべき角度 $\theta$ は、上記のように象限の結合で作られる4つの半平面で進行方向に連続であると定義する。平面曲線が正則曲線であれば、突然タンジェントが隣接していない象限に飛ぶ心配がないので、$\theta$ の連続性が保証される。もっと簡単には、$0 \le \theta \le 2\pi$ のような制限を設けずに、回転するたびにそのまま角度が増加すればいい。

定義 ¹

長さが $L$ の単位スピード閉曲線 $\alpha$ について、次の整数を $\alpha$ の回転数^{rotation Index}と呼ぶ。 $$i_{\alpha} = {{ \theta (L) - \theta (0) } \over { 2\pi }} = {{ \theta (L) } \over { 2\pi }}$$

例

反時計回りの単純曲線

どこから始めても長さ $L$ を動けば、つまり一周回ると角度は $2\pi$ だけ変わるので回転数は $\displaystyle i_{\alpha} = {{ 2 \pi } \over { 2 \pi }} = 1$ だ。

時計回りの単純曲線

一周回るのは同じだけど反対方向に回るから符号は逆になり、回転数は $-1$ になる。

二回巻きつけられた曲線

回転数の定義が正しくされていれば、二回巻きつけられた曲線は直感的に回転数が $2$ であるべきだ。実際に線に沿ってどうにか進めば $\theta (L) = 4 \pi$ だ。もちろん、この曲線は絡み合う部分があるため、単純曲線ではない。

8字曲線

右の翼にある一点から始めて直接線に沿って進めば、左の翼に入って $2 \pi$ になりそうで結局 $\theta (L) = 0$ で終わる。ある意味、右から $+1$、左から $-1$ で回転数が相殺されたようにも見える。

複雑な曲線

見るだけで複雑な曲線を一つ想像してみよう。

もちろん、これまでの例のように直接線を掴んで回してもいいが、これまで見た例から最終的に赤い回転が $+1$ 、青い回転が $-1$ という数学的直感が来るはずだ。

絡み合った曲線の重なる部分を取り除いてそれぞれ別に考えれば、この複雑な曲線の回転数も簡単に計算できるようになる。もちろん、これらは絡み合った部分のために単純曲線とは言えないが、回転数を考えるには十分だろう。