📂幾何学

閉曲線の定義

定義 ¹

正則曲線 $\beta (t)$ が閉曲線^{closed curve}であることは、$\beta$ 周期関数であることと等価だ。

公式: 閉曲線の長さ

$\alpha (s)$ が周期 $a>0$ の閉曲線 $\beta (t)$ に対する弦の長さの再パラメータ化である場合、$\alpha$は周期 $L = \int_{0}^{a} |d \beta / dt| dt$ を持つ閉曲線だ。言い換えれば、閉曲線 $\beta$ の長さは $L$ である。

導出

$$ \begin{align*} s(t+a) =& \int_{0}^{t+a}\left|\frac{d \beta}{d t}\right| d t \\ =& \int_{0}^{a}\left|\frac{d \beta}{d t}\right| d t+\int_{a}^{t+a}\left|\frac{d \beta}{d t}\right| d t \\ =& L+\int_{0}^{t}\left|\frac{d \beta}{d t}\right| d t \\ =& L+s(t) \end{align*} $$ 要約すると、$s \left( t + a \right) = s(t) + L$、 $$ \begin{align*} \alpha (s + L) =& \alpha \left( s (t) + L \right) \\ =& \alpha \left( s (t + a) \right) \\ =& \beta (t + a) \\ =& \beta (t) \\ =& \alpha \left( s(t) \right) \\ =& \alpha (s) \end{align*} $$ だから、$\alpha (s)$ は閉曲線だ。$a > 0$ が $$ \beta (t + a) = \beta (t) \qquad , \forall t $$ を満たす最小の正の数であるため、$L>0$ もまた $$ \alpha (s + L) = \alpha (s) \qquad , \forall s $$ を満たす最小の正の数でなければならない。言い換えれば、$\beta$ の長さは $L$ である。

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