閉曲線の定義
📂幾何学閉曲線の定義
定義
正則曲線 β(t) が閉曲線closed curveであることは、β 周期関数であることと等価だ。
公式: 閉曲線の長さ
α(s) が周期 a>0 の閉曲線 β(t) に対する弦の長さの再パラメータ化である場合、αは周期 L=∫0a∣dβ/dt∣dt を持つ閉曲線だ。言い換えれば、閉曲線 β の長さは L である。
導出
s(t+a)====∫0t+adtdβdt∫0adtdβdt+∫at+adtdβdtL+∫0tdtdβdtL+s(t)
要約すると、s(t+a)=s(t)+L、
α(s+L)======α(s(t)+L)α(s(t+a))β(t+a)β(t)α(s(t))α(s)
だから、α(s) は閉曲線だ。a>0 が
β(t+a)=β(t),∀t
を満たす最小の正の数であるため、L>0 もまた
α(s+L)=α(s),∀s
を満たす最小の正の数でなければならない。言い換えれば、β の長さは L である。
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