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閉曲線の定義 📂幾何学

閉曲線の定義

定義 1

正則曲線 β(t)\beta (t)閉曲線closed curveであることは、β\beta 周期関数であることと等価だ。

公式: 閉曲線の長さ

α(s)\alpha (s) が周期 a>0a>0 の閉曲線 β(t)\beta (t) に対する弦の長さの再パラメータ化である場合、α\alphaは周期 L=0adβ/dtdtL = \int_{0}^{a} |d \beta / dt| dt を持つ閉曲線だ。言い換えれば、閉曲線 β\beta の長さは LL である。

導出

s(t+a)=0t+adβdtdt=0adβdtdt+at+adβdtdt=L+0tdβdtdt=L+s(t) \begin{align*} s(t+a) =& \int_{0}^{t+a}\left|\frac{d \beta}{d t}\right| d t \\ =& \int_{0}^{a}\left|\frac{d \beta}{d t}\right| d t+\int_{a}^{t+a}\left|\frac{d \beta}{d t}\right| d t \\ =& L+\int_{0}^{t}\left|\frac{d \beta}{d t}\right| d t \\ =& L+s(t) \end{align*} 要約すると、s(t+a)=s(t)+Ls \left( t + a \right) = s(t) + Lα(s+L)=α(s(t)+L)=α(s(t+a))=β(t+a)=β(t)=α(s(t))=α(s) \begin{align*} \alpha (s + L) =& \alpha \left( s (t) + L \right) \\ =& \alpha \left( s (t + a) \right) \\ =& \beta (t + a) \\ =& \beta (t) \\ =& \alpha \left( s(t) \right) \\ =& \alpha (s) \end{align*} だから、α(s)\alpha (s) は閉曲線だ。a>0a > 0β(t+a)=β(t),t \beta (t + a) = \beta (t) \qquad , \forall t を満たす最小の正の数であるため、L>0L>0 もまた α(s+L)=α(s),s \alpha (s + L) = \alpha (s) \qquad , \forall s を満たす最小の正の数でなければならない。言い換えれば、β\beta の長さは LL である。


  1. Millman. (1977). Elements of Differential Geometry: p53. ↩︎