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ベクトル関数のカールのカール 📂数理物理学

ベクトル関数のカールのカール

公式

ベクター関数のカールのカールは以下の通りだ。

∇×(∇×A)=∇(∇⋅A)−∇2A \nabla \times (\nabla \times \mathbf{A}) = \nabla (\nabla \cdot \mathbf{A}) - \nabla^2 \mathbf{A}

説明

最初の項、∇(∇⋅A)\nabla(\nabla \cdot \mathbf{A})は、ダイバージェンスのグラジエントで、特に名前はない。二番目の項は重要で名前がある。∇⋅∇\nabla \cdot \nablaをラプラシアンというが、正確にはベクター関数のラプラシアンだ。

カールのカールに特別な意味があるわけではなく、他の2種類の2次導関数として表すことができる点だけ知っておけばいい。

証明

アインシュタイン記法を使用して合計記号 ∑\sumを省略した。レヴィ-チヴィタ記号を使用して計算すると、次のとおりだ。∇j=∂∂xj\nabla _{j} = \dfrac{\partial }{\partial x_{j}}とするならば、

∇×(∇×A)=ϵijkei∇j(∇×A)k=ϵijkei∇j(ϵklm∇lAm)=ϵijkϵklmei∇j∇lAm=(δilδjm−δimδjl)ei∇j∇lAm=δilδjmei∇j∇lAm−δimδjlei∇j∇lAm=ei∇i∇jAj−∇j∇jeiAi=ei∇i(∇⋅A)−∇j∇jA=∇(∇⋅A)−∇⋅∇A \begin{align*} \nabla \times ( \nabla \times \mathbf{A}) &= \epsilon_{ijk} \mathbf{e}_{i} \nabla_{j} (\nabla \times \mathbf{A})_{k} \\ &= \epsilon_{ijk} \mathbf{e}_{i} \nabla_{j} (\epsilon_{klm} \nabla_{l} A_{m}) \\ &= {\color{blue}\epsilon_{ijk}\epsilon_{klm}}\mathbf{e}_{i} \nabla_{j} \nabla_{l} A_{m} \\ &= {\color{blue}(\delta_{il}\delta_{jm} - \delta_{im} \delta_{jl}) }\mathbf{e}_{i} \nabla _{j} \nabla _{l} A_{m} \\ &= \delta_{il}\delta_{jm}\mathbf{e}_{i} \nabla _{j} \nabla _{l} A_{m} - \delta_{im} \delta_{jl} \mathbf{e}_{i} \nabla _{j} \nabla _{l} A_{m} \\ &= \mathbf{e}_{i}\nabla_{i} \nabla_{j} A_{j} - \nabla_{j} \nabla_{j} \mathbf{e}_{i} A_{i} \\ &= \mathbf{e}_{i}\nabla_{i} (\nabla \cdot \mathbf{A}) - \nabla_{j} \nabla_{j} \mathbf{A} \\ &= \nabla(\nabla \cdot \mathbf{A}) - \nabla \cdot \nabla \mathbf{A} \end{align*}

四番目の等号は、ϵijkϵklm=(δilδjm−δimδjl)\epsilon_{ijk}\epsilon_{klm}=(\delta_{il}\delta_{jm} - \delta_{im} \delta_{jl})によって成り立つ。

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