📂幾何学

再パラメータ化とフレネ-セレの道具

定義

$\beta : [a,b] \to \mathbb{R}^{3}$ を正則曲線と呼ぼう。弧の長さ再パラメータ化 $t = t(s)$ は $s(t) = \int_{a}^{t} \left| \beta^{\prime}(t) \right| dt$ を満たし、単位スピードカーブ $\alpha (s) := \beta \left( t (s) \right)$ のフレネ・セレ装置 $$\left\{ \kappa_{\alpha} \left( s(t) \right), \tau_{\alpha} \left( s(t) \right) , T_{\alpha} \left( s(t) \right) , N_{\alpha} \left( s(t) \right), B_{\alpha} \left( s(t) \right) \right\}$$ は$\beta$ のフレネ・セレ装置と定義される。

説明

フレネ・セレ装置の定義を正則曲線に対して一般化した。これは数学全般でよく使われる方法で、単位スピードカーブでなければ単位スピードになるようにしたものと見ることができる。全単射な弧の長さ再パラメータ化によれば、$\beta$ ではないが、その幾何を取り入れた $\alpha$ を見るべきだ。

記号

$${{ df } \over { ds }} = f^{\prime} \quad \text{and} \quad {{ df } \over { dt }} = \dot{f}$$

ドット $\dot{}$ やプライム $'$ はどちらも微分を示すが、微分幾何学の文脈では上のように記号を区別する。通常、$s$ は単位スピード曲線のパラメータを表し、$t = t(s)$ は弧の長さ再パラメータ化を経た曲線のパラメータを表す。また、外積 $\times$ と内積 $\left< \cdot, \cdot \right>$ についてスカラー三重積を示すために次のような三項記号を使用する。 $$\left[ \mathbf{u} , \mathbf{v} , \mathbf{w} \right] := \left< \mathbf{u} \times \mathbf{v} , \mathbf{w} \right>$$

定理 ¹

$\beta (t)$ が正則曲線である場合

• (a): $\displaystyle T = {{ \dot{\beta} } \over { \left| \dot{\beta} \right| }}$
• (b): $\displaystyle B = {{ \dot{\beta} \times \ddot{\beta} } \over { \left| \dot{\beta} \times \ddot{\beta} \right| }}$
• (c): $N = B \times T$
• (d): $\displaystyle \kappa = {{ \left| \dot{\beta} \times \ddot{\beta} \right| } \over { \left| \dot{\beta} \right|^{3} }}$
• (e): $\displaystyle \tau = {{ \left[ \dot{\beta} , \ddot{\beta}, \overset{\cdot\cdot\cdot}{\beta} \right] } \over { \left| \dot{\beta} \times \ddot{\beta} \right|^{2} }}$

証明

フレネ・セレの公式: $\alpha$ が $\kappa (s) \ne 0$ である単位スピードカーブであれば $$\begin{align*} T^{\prime}(s) =& \kappa (s) N(s) \\ N^{\prime}(s) =& - \kappa (s) T(s) + \tau (s) B(s) \\ B^{\prime}(s) =& - \tau (s) N(s) \end{align*}$$

記号で紹介した通り、次を容易に導き出せる。 $${{ ds } \over { dt }} = \dot{s} = \left| \dot{\beta} \right| = {{ d } \over { dt }} \int_{a}^{t} \left| \beta^{\prime}(t) \right| dt$$ 特に $\dot{T}$ はフレネ・セレの公式に従って $$\dot{T} = {{ dT } \over { dt }} = {{ dT } \over { ds }} {{ ds } \over { st }} = \kappa N \dot{s}$$

(a)

$$\begin{align*} \dot{\beta} =& \alpha^{\prime} \dot{s} \\ =& T \dot{s} \\ =& T \left| \dot{\beta} \right| \end{align*}$$ $\left| \dot{\beta} \right|$ を超えて $$T = {{ \dot{\beta} } \over { \left| \dot{\beta} \right| }}$$

(d)

便宜上 $(d)$ を先に証明する。 $$\dot{\beta} = \dot{s} T$$ 両辺を $t$ で微分すると $$\begin{align*} \ddot{\beta} =& \ddot{s} T + \dot{s} \dot{T} \\ =& \ddot{s} T + \dot{s}^{2} \dot{T}^{\prime} \\ =& \ddot{s} T + \kappa \dot{s}^{2} N \end{align*}$$ 従って $$\begin{align*} \left| \dot{\beta} \times \ddot{\beta} \right| =& \left| \dot{s} T \times \left( \ddot{s} T + \kappa \dot{s}^{2} N \right) \right| \\ =& \left| \kappa \dot{s}^{3} B \right| \\ =& \kappa \dot{s}^{3} \end{align*}$$ $\dot{s} = \left| \dot{\beta} \right|$ だから $$\kappa = {{ \left| \dot{\beta} \times \ddot{\beta} \right| } \over { \left| \dot{\beta} \right|^{3} }}$$

(b)

(d)の証明過程で $\kappa \ne 0$ なら $$\begin{align*} B =& {{ \dot{\beta} \times \ddot{\beta} } \over { \kappa \dot{s}^{3} }} \\ =& {{ \dot{\beta} \times \ddot{\beta} } \over { \left| \dot{\beta} \times \ddot{\beta} \right| }} \end{align*}$$

(c)

自明である。

(e)

$\ddot{\beta} = \ddot{s} T + \dot{s} \dot{T}$ をもう一度 $t$ で微分すると $$\begin{align*} \overset{\cdot\cdot\cdot}{\beta} =& \overset{\cdot\cdot\cdot}{s} T + \ddot{s} \dot{T}+\left(\kappa \dot{s}^{2}\right)^{\cdot} N+\kappa \dot{s}^{2} \dot{N} \\ =& \overset{\cdot\cdot\cdot}{s} T+\dot{s} \ddot{s} T^{\prime} + \left(\kappa \dot{s}^{2}\right)^{\cdot} N + \kappa \dot{s}^{3} N^{\prime} \\ =& \overset{\cdot\cdot\cdot}{s} T+\kappa \dot{s} \ddot{s} N+\left(\kappa \dot{s}^{2}\right)^{\cdot} N-\kappa^{2} \dot{s}^{3} T+\kappa \tau \dot{s}^{3} \mathbf{B} \\ =& \left(\overset{\cdot\cdot\cdot}{s}-\kappa^{2} \dot{s}^{3}\right) T+\left(\kappa \dot{s} \ddot{s}+\left(\kappa \dot{s}^{2}\right)^{\cdot}\right) N+\kappa \tau \dot{s}^{3} \mathbf{B} \end{align*}$$ スカラー三重積が $\left[ \dot{\beta} , \ddot{\beta}, \overset{\cdot\cdot\cdot}{\beta} \right] = \left< \dot{\beta} \times \ddot{\beta} , \overset{\cdot\cdot\cdot}{\beta} \right>$ で、$T \perp B$、$N \perp B$ であるため、結論は $$\begin{align*} \left[ \dot{\beta} , \ddot{\beta}, \overset{\cdot\cdot\cdot}{\beta} \right] =& \left< \dot{\beta} \times \ddot{\beta} , \overset{\cdot\cdot\cdot}{\beta} \right> \\ =& \left< \kappa \dot{s}^{3} B , \overset{\cdot\cdot\cdot}{\beta} \right> \\ =& \tau \left( \kappa \dot{s}^{3} \right)^{2} \\ =& \tau \left| \dot{\beta} \times \ddot{\beta} \right|^{2} \end{align*}$$ まとめると $$\tau = {{ \left[ \dot{\beta} , \ddot{\beta}, \overset{\cdot\cdot\cdot}{\beta} \right] } \over { \left| \dot{\beta} \times \ddot{\beta} \right|^{2} }}$$

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