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球面上の曲線に関する公式 📂幾何学

球面上の曲線に関する公式

数式 1

単位スピードカーブα:I→R3\alpha : I \to \mathbb{R}^{3}が中心mmで半径rrの球面上に置かれているとしよう。すなわち、 α(I)⊂Sr,m={x∈R3:<x−m,x−m>=r2} \alpha (I) \subset S_{r,m} = \left\{ x \in \mathbb{R}^{3} : \left< x - m , x - m \right> = r^{2} \right\} とすると κ≠0\kappa \ne 0になる。もしτ≠0\tau \ne 0ならばρ=1/κ\rho = 1/\kappaとσ=1/τ\sigma = 1 / \tauに対して、 α−m=−ρN−ρ′σB \alpha - m = - \rho N - \rho^{\prime} \sigma B そして、半径に関して整理すると、 r2=ρ2+(ρ′σ)2 r^{2} = \rho^{2} + \left( \rho^{\prime} \sigma \right)^{2}

導出

補題: nn次元内積空間VVで、E={e1,⋯ ,en}E = \left\{ e_{1} , \cdots , e_{n} \right\}が直交集合であるとするとEEはVVの基底であり、全てのv∈Vv \in Vに対して、 v=∑k=1n<v,ek>ek v = \sum_{k=1}^{n} \left< v , e_{k} \right> e_{k}

内積の微分法: <f,g>′=<f′,g>+<f,g′>\left< f, g \right>^{\prime} = \left< f^{\prime}, g \right> + \left< f, g^{\prime} \right>

フレネ-セレの公式: α\alphaがκ(s)≠0\kappa (s) \ne 0の単位スピードカーブであるならば、 T′(s)=κ(s)N(s)N′(s)=−κ(s)T(s)+τ(s)B(s)B′(s)=−τ(s)N(s) \begin{align*} T^{\prime}(s) =& \kappa (s) N(s) \\ N^{\prime}(s) =& - \kappa (s) T(s) + \tau (s) B(s) \\ B^{\prime}(s) =& - \tau (s) N(s) \end{align*}

<α(s)−m,α(s)−m>=r2 \left< \alpha (s) - m , \alpha (s) - m \right> = r^{2} 微分するとr2r^{2}が定数でありT=α′T = \alpha^{\prime}であるため、 0=2<T,α(s)−m> \begin{equation} 0 = 2 \left< T , \alpha (s) - m \right> \label{1} \end{equation} 両辺を22で割ってからもう一度微分すると、α\alphaが単位スピードカーブであり、フレネ-セレの公式T′=κNT^{\prime} = \kappa Nに従って、 0=<T,α(s)−m>′=<T′,α(s)−m>+<T,T>=<κN,α(s)−m>+1 \begin{align*} 0 =& \left< T , \alpha (s) - m \right>^{\prime} \\ =& \left< T^{\prime} , \alpha (s) - m \right> + \left< T ,T \right> \\ =& \left< \kappa N , \alpha (s) - m \right> + 1 \end{align*} 整理すると、 κ<N,α(s)−m>=−1 \kappa \left< N, \alpha (s) - m \right> = -1 ρ=1/κ\rho = 1 / \kappaに関して表すと、 <N,α(s)−m>=−1κ=−ρ \begin{equation} \left< N, \alpha (s) - m \right> = - {{ 1 } \over { \kappa }} = - \rho \label{2} \end{equation} 補題に従って、 α(s)−m=<α(s)−m,T>T+<α(s)−m,N>N+<α(s)−m,B>B=0−ρN+<α(s)−m,B>B∵(1),(2) \begin{align*} & \alpha (s) - m \\ =& \left< \alpha (s) - m , T \right> T + \left< \alpha (s) - m , N \right> N + \left< \alpha (s) - m , B \right> B & \\ =& 0 - \rho N + \left< \alpha (s) - m , B \right> B & \because (1), (2) \end{align*} これで<α(s)−m,B>\left< \alpha (s) - m , B \right>を見つけるだけである。(2)\eqref{2}の両辺を微分すると、 −ρ′=<N,α(s)−m>′=<N′,α(s)−m>+<N,T>=<−κT+τB,α(s)−m>+0=τ<B,α(s)−m> \begin{align*} - \rho^{\prime} =& \left< N , \alpha (s) - m \right>^{\prime} \\ =& \left< N^{\prime} , \alpha (s) - m \right> + \left< N, T \right> \\ =& \left< -\kappa T + \tau B , \alpha (s) - m \right> + 0 \\ =& \tau \left< B , \alpha (s) - m \right> \end{align*} σ=1/τ\sigma = 1/\tauに関して表すと、 <α(s)−m,B>=−ρ′τ=−σρ′ \left< \alpha (s) - m , B \right> = - {{ \rho^{\prime} } \over { \tau }} = - \sigma \rho^{\prime} 最後に、以下を得る。 α(s)−m=−ρN−σρ′B \alpha (s) - m = - \rho N - \sigma \rho^{\prime} B

r2r^{2}に関する公式は、以下のように導出される。 r2=<α(s)−m,α(s)−m>=<−ρN−ρ′σB,−ρN−ρ′σB>=ρ2<N,N>2+2ρρ′σ<N,B>+(ρ′σ)2<B,B>2=ρ2⋅1+2ρρ′σ⋅0+(ρ′σ)2=ρ2+(ρ′σ)2 \begin{align*} r^{2} =& \left< \alpha (s) - m , \alpha (s) - m \right> \\ =& \left< -\rho N - \rho^{\prime} \sigma B , -\rho N - \rho^{\prime} \sigma B \right> \\ =& \rho^{2} \left< N, N \right>^{2} + 2 \rho \rho^{\prime} \sigma \left< N, B \right> + \left( \rho^{\prime} \sigma \right)^{2} \left< B, B \right>^{2} \\ =& \rho^{2} \cdot 1 + 2 \rho \rho^{\prime} \sigma \cdot 0 + \left( \rho^{\prime} \sigma \right)^{2} \\ =& \rho^{2} + \left( \rho^{\prime} \sigma \right)^{2} \end{align*}

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  1. Millman. (1977). Elements of Differential Geometry: p34. ↩︎