複素関数の積分
📂複素解析複素関数の積分
定義
g(t):=p(t)+iq(t),t∈[a,b]
実関数 p,q:[a,b]→R に対し、複素関数 g:[a,b]→C が上記のように示されるとする。区間 [a,b] から g までの定積分は次のように定義される。
∫abg(t)dt=∫abp(t)dt+i∫abq(t)dt
t∈[a,b] に対して、パス C:z(t)=x(t)+iy(t) に沿った複素路線積分を次のように定義する。
∫Cf(z)dz=∫abf(z(t))z’(t)dt
説明
アークarc、あるいはカーブcurve C:z(t) の定義は、幾何学では重要かもしれないが、複素解析自体ではそこまで正確にする必要はないので、少し無視して進もう。以下の説明にこだわるよりは、微分幾何等でカーブをしっかり学ぶか、とりあえず目の前の C については直感的な概念だけを受け入れて進んでも十分だ。
C に重なる部分がない場合、つまり次を満たす場合、シンプルsimple あるいは ジョルダンjordanという。
z(t1)=z(t2)⟹t1=t2,∀t1,t2∈[a,b]
どこでも微分可能で、微分係数が 0 でない場合、つまり次を満たす場合、スムースsmoothという。
∃z’(t)=0,∀t∈[a,b]
有限個の(シンプルな)スムースなアークの端と端を繋いだものを(シンプルな)コントゥアcontourという。コントゥアを翻訳すると等高線となるが、意味がうまく伝わらないこともあり、複素解析の文脈ではほとんどがコントゥアを反時計回りanticlockwiseに沿って積分する場合に使われるため、C をパスとして簡化することもできる。
a→b の方向に進む場合は C ならば、b→a の方向に進む場合は −C と表される。パラメーターによると、C:z(t),a≤t≤b の時は次のようになる。
−C:z(−t),−b≤t≤−a
正確に両端の位置が同じだけなら、つまり z(a)=z(b) は 閉じたコントゥアclosed Contourという。
もう一度強調する。この説明が優れた数学者には気に入らないかもしれないが、スキップして進もう。以下の性質を直感的に受け入れられるかが遥かに重要だ。
基本性質
f,g が C で区分的に連続であるとする。
- [1]: すべての α,β∈C において
∫C(αf(z)+βg(z))dz=α∫Cf(z)dz+β∫Cg(z)dz
- [2]: C の方向が a→b→c であり、a→b の方向の C1 と b→c の方向の C2 から成る場合
∫Cf(z)dz=∫C1f(z)dz+∫C2f(z)dz
- ∫−Cf(z)dz=−∫Cf(z)dz