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複素関数の積分 📂複素解析

複素関数の積分

定義 1

g(t):=p(t)+iq(t),t[a,b] g(t) := p(t) + i q(t) \qquad , t \in [a,b]

実関数 p,q:[a,b]Rp, q : [a,b] \to \mathbb{R} に対し、複素関数 g:[a,b]Cg : [a,b] \to \mathbb{C} が上記のように示されるとする。区間 [a,b][a,b] から gg までの定積分は次のように定義される。 abg(t)dt=abp(t)dt+iabq(t)dt \int_{a}^{b} g(t) dt = \int_{a}^{b} p(t) dt + i \int_{a}^{b} q(t) dt t[a,b]t \in [a,b] に対して、パス C:z(t)=x(t)+iy(t)\mathscr{C} : z(t) = x(t) + i y(t) に沿った複素路線積分を次のように定義する。 Cf(z)dz=abf(z(t))z(t)dt \int_{\mathscr{C}} f(z) dz = \int_{a}^{b} f \left( z(t) \right) z’(t) dt

説明

アークarc、あるいはカーブcurve C:z(t)\mathscr{C} : z(t) の定義は、幾何学では重要かもしれないが、複素解析自体ではそこまで正確にする必要はないので、少し無視して進もう。以下の説明にこだわるよりは、微分幾何等でカーブをしっかり学ぶか、とりあえず目の前の C\mathscr{C} については直感的な概念だけを受け入れて進んでも十分だ。

  • C\mathscr{C} に重なる部分がない場合、つまり次を満たす場合、シンプルsimple あるいは ジョルダンjordanという。 z(t1)=z(t2)    t1=t2,t1,t2[a,b] z \left( t_{1} \right) = z \left( t_{2} \right) \implies t_{1} = t_{2} \qquad , \forall t_{1}, t_{2} \in [a,b]

  • どこでも微分可能で、微分係数が 00 でない場合、つまり次を満たす場合、スムースsmoothという。 z(t)0,t[a,b] \exists z’(t) \ne 0 \qquad , \forall t \in [a,b]

  • 有限個の(シンプルな)スムースなアークの端と端を繋いだものを(シンプルな)コントゥアcontourという。コントゥアを翻訳すると等高線となるが、意味がうまく伝わらないこともあり、複素解析の文脈ではほとんどがコントゥアを反時計回りanticlockwiseに沿って積分する場合に使われるため、C\mathscr{C} をパスとして簡化することもできる。

  • aba \to b の方向に進む場合は C\mathscr{C} ならば、bab \to a の方向に進む場合は C-\mathscr{C} と表される。パラメーターによると、C:z(t),atb\mathscr{C} : z(t) , a \le t \le b の時は次のようになる。 C:z(t),bta -\mathscr{C} : z(-t) , -b \le t \le -a

  • 正確に両端の位置が同じだけなら、つまり z(a)=z(b)z(a) = z(b)閉じたコントゥアclosed Contourという。

もう一度強調する。この説明が優れた数学者には気に入らないかもしれないが、スキップして進もう。以下の性質を直感的に受け入れられるかが遥かに重要だ。

基本性質

f,gf,gC\mathscr{C}区分的に連続であるとする。

  • [1]: すべての α,βC\alpha , \beta \in \mathbb{C} において C(αf(z)+βg(z))dz=αCf(z)dz+βCg(z)dz \int_{\mathscr{C}} \left( \alpha f(z) + \beta g(z) \right) dz = \alpha \int_{\mathscr{C}} f(z) dz + \beta \int_{\mathscr{C}} g(z) dz
  • [2]: C\mathscr{C} の方向が abca \to b \to c であり、aba \to b の方向の C1\mathscr{C}_{1}bcb \to c の方向の C2\mathscr{C}_{2} から成る場合 Cf(z)dz=C1f(z)dz+C2f(z)dz \int_{\mathscr{C}} f(z) dz = \int_{\mathscr{C}_{1}} f(z) dz + \int_{\mathscr{C}_{2}} f(z) dz
  • Cf(z)dz=Cf(z)dz \int_{ - \mathscr{C}} f(z) dz = - \int_{\mathscr{C}} f(z) dz

  1. Osborne (1999). 複素変数 その応用: p69~71. ↩︎