📂幾何学

ランチョスの定理の証明

定理 ¹

$\kappa \ne 0$ の単位スピード曲線 $\alpha$が螺旋であることは、ある定数 $c \in \mathbb{R}$に対して $\tau = c \kappa$となることと同値である。

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• $\tau, \kappa$ は捩率、曲率である。

証明

螺旋の定義: 正則曲線 $\alpha$が、ある固定された単位ベクトル $\mathbf{u}$に対して$\left< T, \mathbf{u} \right>$が定数ならば、螺旋^helixと言い、$\mathbf{u}$を軸^axisと呼ぶ。

補助定理: $n$次元内積空間$V$で$E = \left\{ e_{1} , \cdots , e_{n} \right\}$が直交集合とすると $E$は$V$の基底であり、任意の$v \in V$に対して $$v = \sum_{k=1}^{n} \left< v , e_{k} \right> e_{k}$$

内積の微分法: $$\left< f, g \right>^{\prime} = \left< f^{\prime}, g \right> + \left< f, g^{\prime} \right>$$

フレネ・セレの公式: $\alpha$が$\kappa (s) \ne 0$の単位スピード曲線である場合 $$\begin{align*} T^{\prime}(s) =& \kappa (s) N(s) \\ N^{\prime}(s) =& - \kappa (s) T(s) + \tau (s) B(s) \\ B^{\prime}(s) =& - \tau (s) N(s) \end{align*}$$

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$(\implies)$

$\alpha$が螺旋ならば、何らかの固定された軸$\mathbf{u}$に対して$\left< T , \mathbf{u} \right>$は定数である。具体的に固定された角度$\theta$について次のように表す。 $$\left< T , \mathbf{u} \right> = \cos \theta$$ もし$n \in \mathbb{Z}$に対して$\theta = n \pi$であれば $$\left< T , \mathbf{u} \right> = \pm 1 \implies T = \pm \mathbf{u}$$ つまり$T$が定数であるため$\alpha$は直線であり、$\kappa = 0$であるため仮定に反するため、$\theta \ne n \pi$でなければならない。

$$\pm 1 \ne \cos \theta = \left< T, \mathbf{u} \right>$$ 上の式に内積の微分法を使用する。$\mathbf{u}$は定数なので$\mathbf{u}^{\prime} = 0$であり、フレネ・セレの公式によると $$\begin{align*} 0 =& \left< T, \mathbf{u} \right>^{\prime} \\ =& \left< T^{\prime}, \mathbf{u} \right> + \left< T, \mathbf{u}^{\prime} \right> \\ =& \left< \kappa N, \mathbf{u} \right> + \left< T, 0 \right> \\ =& \kappa \left< N, \mathbf{u} \right> \end{align*}$$ $\kappa \ne 0$を仮定すると$\left< N, \mathbf{u} \right> = 0$でなければならない。補助定理によると $$\begin{align} \mathbf{u} =& \left< \mathbf{u} , T \right> T + \left< \mathbf{u} , N \right> N + \left< \mathbf{u} , B \right> B \\ =& \cos \theta T + \left< \mathbf{u} , B \right> B \end{align}$$ 両辺を二乗すると$|T|^{2} = \left| \mathbf{u} \right| = 1$であり、$T \perp B \implies \left< T, B \right> =0$であるため $$\begin{align*} 1 =& \left| \mathbf{u} \right|^{2} \\ =& \cos^{2} \theta |T|^{2} + 2 \cos \theta \left< \mathbf{u} , B \right> \left< T, B \right> + \left< T, B \right>^{2} \\ =& \cos^{2} \theta + \left< \mathbf{u} , B \right>^{2} \end{align*}$$ $\sin^{2} + \cos^{2} = 1$であるため $$\left< \mathbf{u} , B \right>^{2} = \sin^{2} \theta$$ 再び$(2)$に戻ると、結局次のことが得られる。 $$\mathbf{u} = \cos \theta T +\sin \theta B$$ 両辺を微分すると、フレネ・セレの公式によると $$\begin{align*} 0 =& \mathbf{u}^{\prime} \\ =& \cos \theta T^{\prime} + \sin \theta B^{\prime} \\ =& \cos \theta \kappa N + \sin \theta (-\tau N) \\ =& \left( \kappa \cos \theta - \tau \sin \theta \right) N \end{align*}$$ $N$は$0$ではないので$\kappa \cos \theta - \tau \sin \theta$が$0$でなければならず、$\theta \ne n \pi$であるため$\sin \theta \ne 0$であることはできない。したがって $$\kappa {{ \cos \theta } \over { \sin \theta }} = \tau$$ $\theta$は固定された値なので、捩率は$\tau = \kappa \cot \theta$のように曲率の定数倍で表されることを示した。

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$(\impliedby)$

ある定数$c$に対して$\tau = c \kappa$としよう。何らかの$0 < \theta < \pi$に対して$c := \cot \theta$と置く。 $$\tau = \cot \theta \kappa$$ ベクトル$\mathbf{u}$を次のように定義する。 $$\mathbf{u} := \cos \theta T + \sin \theta B$$ 左辺を微分すると、フレネ・セレの公式によると $$\begin{align*} \mathbf{u}^{\prime} =& \cos \theta T^{\prime} + \sin \theta B^{\prime} \\ =& \cos \theta \kappa N + \sin \theta ( - \tau N) \\ =& \left( \cos \theta \kappa - \sin \theta \tau \right) N \\ =& \left( \cos \theta \kappa - \sin \theta {{ \cos \theta } \over { \sin \theta }} \kappa \right) N \\ =& 0 \end{align*}$$ したがって$\mathbf{u}$は定数であり、$\alpha$が単位スピード曲線であるので $$\left< T, \mathbf{u} \right> = \left< T, \cos \theta T + \sin \theta B \right> = \cos \theta \cdot 1 + 0$$ つまり$\left< T, \mathbf{u} \right>$は定数であり、$\alpha$は螺旋である。

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