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調和関数

定義 ¹

関数 $\phi (x,y)$ が領域 $\mathscr{R}$ で連続な二階微分を持ち、ラプラスの方程式の解であれば、ハーモニックであると言う。言い換えると、ハーモニック関数は次を満たす関数である。 $$\Delta \phi = \nabla^{2} \phi = \phi_{xx} + \phi_{yy} = 0$$ 特に、関数 $u(x,y), v(x,y)$ がハーモニックであり、$u,v$ がコーシー・リーマンの方程式を満たす場合、$v(x,y)$ は $u(x,y)$ のハーモニック共役であるという。 $$\begin{cases} u_{x} (x,y) = v_{y} (x,y) \\ u_{y} (x,y) = -v_{x} (x,y) \end{cases}$$

説明

狭い意味で

狭い意味では、調和関数または調波とは、サイン関数やコサイン関数を意味する。または、これら二つの組み合わせである複素指数関数を意味する。

$$f(x) = A \sin kx \quad \text{or} \quad f(x) = e^{ix} = \cos x + i \sin x$$

特に、時間-調和関数と言えば、次のように時間に関する変数が加えられた形を意味する。

$$f(x,t) = e^{i(kx-\omega t)}$$

工学では、定在波とも呼ばれる。