📂動力学

力学系の厳密な定義

定義 ¹

空間$X$と時点$t \in T$におけるオペレーター$\varphi^{t}$をフローと呼ぶ。フローの集合$F := \left\{ \varphi^{t} \right\}_{t \in T}$が関数合成演算$\circ$に対して$\left( F , \circ \right)$を満たす場合、三つ組$\left( T, X, \varphi^{t} \right)$を動力系と呼ぶ。 $$\begin{align*} \varphi^{0} =& \text{id} \\ \varphi^{t+s} =& \varphi^{t} \circ \varphi^{s} \end{align*}$$

解説

主に$T = \mathbb{Z}$の場合はマップ、$T = \mathbb{R}$の場合は微分方程式で表される。これは動力系がマップと微分方程式だけで定義されるわけではないことを意味する。

動力系はある時点のステートが過去のステートで表されるシステムだとよく説明されるが、これは厳密ではないし、それほど直感的でもない。数学的な表現なしで概念を理解する場合は、マップで表される動力系や微分方程式で表される動力系の例を学ぶ方が良いし、数学的な表現が好きなら上の定義が気に入るはずだ。

関連項目

• マップで表される動力系
• 微分方程式で表される動力系
• 動力系の厳密な定義