マックスウェルの方程式から電磁波光の速度を求める
公式
真空中のマックスウェル方程式
$$ \begin{align} \nabla \cdot \mathbf{E} &= 0 \\[1em] \nabla \cdot \mathbf{B} &= 0 \\[1em] \nabla \times \mathbf{E} &= -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \\[1em] \nabla \times \mathbf{B} &= \mu_{0}\epsilon_{0}\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \end{align} $$
$$ \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 f}{\partial t^2} $$
三次元波動方程式
$$ \nabla ^2 f = \frac{1}{v^2}\frac{\partial ^2 f}{\partial t^2} $$
導出
マックスウェルの方程式から$\mathbf{E}$と$\mathbf{B}$に関する波動方程式の形を導き出すことが目的だ。$(3)$にクル$(\nabla \times)$をとると、
$$ \begin{align*} \nabla \times (\nabla \times \mathbf{E}) &= \nabla \times \left( -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \right) \\ &= -\frac{\partial }{\partial t} (\nabla \times \mathbf{B}) \\ &= -\frac{\partial}{\partial t} \left( \mu_{0}\epsilon_{0} \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \right) \\ &= -\mu_{0}\epsilon_{0}\frac{\partial ^2 \mathbf{E}}{\partial t^2} \end{align*} $$
三番目の等号は$(4)$により成り立つ。同様に$(4)$にクルをとると、
$$ \begin{align*} \nabla \times (\nabla \times \mathbf{B}) &= \nabla \times \left( \mu_{0} \epsilon_{0} \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \right) \\ &= \mu_{0}\epsilon_{0} \frac{\partial }{\partial t}(\nabla \times \mathbf{E}) \\ &= -\mu_{0}\epsilon_{0} \frac {\partial ^2 \mathbf{B} }{\partial t^2} \end{align*} $$
そして$\nabla \times (\nabla \times \mathbf{A}) = \nabla(\nabla \cdot \mathbf{A})-\nabla^2\mathbf{A}$だから、
$$ \nabla \times (\nabla \times \mathbf{E}) = \nabla(\nabla \cdot \mathbf{E})-\nabla^2\mathbf{E}=-\mu_{0}\epsilon_{0}\frac{\partial ^2 \mathbf{E}}{\partial t^2} $$
$$ \nabla \times (\nabla \times \mathbf{B}) = \nabla(\nabla \cdot \mathbf{B})-\nabla^2\mathbf{B}=-\mu_{0}\epsilon_{0}\frac{\partial ^2 \mathbf{B}}{\partial t^2} $$
最後に$\nabla \cdot \mathbf{E}=0$、$\nabla \cdot \mathbf{B}=0$だから、
$$ \nabla ^2 \mathbf{E} = \mu_{0}\epsilon_{0}\frac{\partial ^2 \mathbf{E}}{\partial t^2} $$
$$ \nabla ^2 \mathbf{B} = \mu_{0}\epsilon_{0}\frac{\partial ^2 \mathbf{B}}{\partial t^2} $$
これでマックスウェルの方程式から$\mathbf{E}$と$\mathbf{B}$が分離された。見ての通り、三次元波動方程式の形をしていることが分かる。驚くべきことに、電磁波の速度は$\dfrac{1}{v^2}=\mu_{0}\epsilon_{0}$により$v=\dfrac{1}{\sqrt{\mu_{0}\epsilon_{0}}}=3.00\times 10^8 m/s$と決まり、これは光の速度と同じである。つまり、光は電磁波の一種であり、その速度は一定であると推測できる。