📂幾何学

接線とタンジェントベクトル場

定義

正則曲線 $\alpha (t)$ が与えられたとする。

1. ベクトル場 $\displaystyle T(t) := {{ d \alpha / d t } \over { \left| d \alpha / d t \right| }}$ を接線ベクトル場^{tangent vector field}という。
2. 次のように定義された直線 $l$ を$t = t_{0}$ から$\alpha$ の接線^{tangent line}という。 $$ l := \left\{ \mathbf{w} \in \mathbb{R}^{3} : \mathbf{w} = \alpha \left( t_{0} \right) + \lambda T \left( t_{0} \right) , \lambda \in \mathbb{R} \right\} $$

説明

接線ベクトル場は、微分幾何学で非常に重要なベクトル関数で、正則曲線の接線の方向を考えつつ、その大きさを$1$ に統一している。実際に曲線がどれだけ急に曲がっているかとは無関係に、方向だけを表している。