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接線とタンジェントベクトル場 📂幾何学

接線とタンジェントベクトル場

定義

正則曲線 α(t)\alpha (t) が与えられたとする。

  1. ベクトル場 T(t):=dα/dtdα/dt\displaystyle T(t) := {{ d \alpha / d t } \over { \left| d \alpha / d t \right| }}接線ベクトル場tangent vector fieldという。
  2. 次のように定義された直線 llt=t0t = t_{0} からα\alpha接線tangent lineという。 l:={wR3:w=α(t0)+λT(t0),λR} l := \left\{ \mathbf{w} \in \mathbb{R}^{3} : \mathbf{w} = \alpha \left( t_{0} \right) + \lambda T \left( t_{0} \right) , \lambda \in \mathbb{R} \right\}

説明

接線ベクトル場は、微分幾何学で非常に重要なベクトル関数で、正則曲線の接線の方向を考えつつ、その大きさを11 に統一している。実際に曲線がどれだけ急に曲がっているかとは無関係に、方向だけを表している。