再パラメータ化
📂幾何学再パラメータ化
定義

k∈Nと曲線α:(a,b)→R3が与えられているとする。全単射g:(c,d)→(a,b)がg,g−1∈Ckを満たすならば、gをαの再パラメータ化reparametrizationと言う。
- Ckはk回微分可能であり、その導関数が連続関数の集合である。
説明
発音が難しいので、英語で読んでも[リパラメタライゼーション]だ。ただ単語自体が長いからだ。
実際には言葉をかしこまって言ったとしても、αをα(t)と同様にパラメータで表すことを考えること自体が再パラメータ化だ。数学的にクリアな部分はそれをただの考え、概念としておかずに、関数という定義で結びつけてオブジェクト化した点だ。
正則性の保存
再パラメータ化の用途はgが全単射である点から容易に想像できる。扱いにくい曲線を我々が記しやすく、扱いやすい曲線に変えて様々なトリックを使い、g−1を通して元に戻すためである。言い換えれば、変数置換だ。
微分の連鎖律により、パラメータg(r)=t∈(a,b)、r∈(c,d)に対して次を得る。
drdβ=(dtdα)(drdg)
同様に連鎖法則に従ってg(g−1(t))=tの両辺をtで微分すると
(drdg)(dtdg−1)=1
よってdrdg=0であることがわかる。ここで、もしαが正則曲線ならばdtdα=0であるため、必ずdrdβ=0が保証され、再パラメータ化は曲線の正則性regularityを保存することがわかる。
補助定理
再パラメータ化g:(c,d)→(a,b)についてβ=α∘gとする。もしt0=g(r0)ならば、t0でαの接ベクトル場Tとr0でβの接ベクトル場Sは次を満たす。
S=±T
特にgが増加関数ならばS=T、減少関数ならばS=−Tだ。
- T=∣dα/dt∣dα/dtはαの接ベクトル場Tと言われる。
証明
S====drdβdrdβdtdαdtdαdrdgdrdgT⋅(±1)±T
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