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再パラメータ化 📂幾何学

再パラメータ化

定義 1

再パラメータ化

kNk \in \mathbb{N}と曲線α:(a,b)R3\alpha : (a,b) \to \mathbb{R}^{3}が与えられているとする。全単射g:(c,d)(a,b)g: (c,d) \to (a,b)g,g1Ckg , g^{-1} \in C^{k}を満たすならば、ggα\alpha再パラメータ化reparametrizationと言う。


説明

発音が難しいので、英語で読んでも[リパラメタライゼーション]だ。ただ単語自体が長いからだ。

実際には言葉をかしこまって言ったとしても、α\alphaα(t)\alpha (t)と同様にパラメータで表すことを考えること自体が再パラメータ化だ。数学的にクリアな部分はそれをただの考え、概念としておかずに、関数という定義で結びつけてオブジェクト化した点だ。

正則性の保存

再パラメータ化の用途はggが全単射である点から容易に想像できる。扱いにくい曲線を我々が記しやすく、扱いやすい曲線に変えて様々なトリックを使い、g1g^{-1}を通して元に戻すためである。言い換えれば、変数置換だ。

微分の連鎖律により、パラメータg(r)=t(a,b)g(r) = t \in (a,b)r(c,d)r \in (c,d)に対して次を得る。 dβdr=(dαdt)(dgdr) {{ d \beta } \over { d r }} = \left( {{ d \alpha } \over { d t }} \right) \left( {{ d g } \over { d r }} \right) 同様に連鎖法則に従ってg(g1(t))=tg \left( g^{-1} (t) \right) = tの両辺をttで微分すると (dgdr)(dg1dt)=1 \left( {{ d g } \over { d r }} \right) \left( {{ d g^{-1} } \over { d t }} \right) = 1 よってdgdr0\dfrac{dg}{dr} \ne 0であることがわかる。ここで、もしα\alphaが正則曲線ならばdαdt0\dfrac{d\alpha}{dt} \ne \mathbf{0}であるため、必ずdβdr0\dfrac{d\beta}{dr} \ne \mathbf{0}が保証され、再パラメータ化は曲線の正則性regularityを保存することがわかる。

補助定理

再パラメータ化g:(c,d)(a,b)g: (c,d) \to (a,b)についてβ=αg\beta = \alpha \circ gとする。もしt0=g(r0)t_{0} = g \left( r_{0} \right)ならば、t0t_{0}α\alphaの接ベクトル場TTr0r_{0}β\betaの接ベクトル場SSは次を満たす。 S=±T S = \pm T 特にggが増加関数ならばS=TS=T、減少関数ならばS=TS = -Tだ。


証明

S=dβdrdβdr=dαdtdαdtdgdrdgdr=T(±1)=±T \begin{align*} S =& {{ {{ d \beta } \over { dr }} } \over { \left| {{ d \beta } \over { dr }} \right| }} \\ =& {{ {{ d \alpha } \over { dt }} } \over { \left| {{ d \alpha } \over { dt }} \right| }} {{ {{ d g } \over { dr }} } \over { \left| {{ d g } \over { dr }} \right| }} \\ =& T \cdot ( \pm 1) \\ =& \pm T \end{align*}


  1. Millman. (1977). Elements of Differential Geometry: p17~18. ↩︎