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指数関数

概要

指数関数^{exponential function}は、数学全般で一貫して現れる乗算の一般化です。元々の乗算では、底 $a > 0$ が必ずしも $a = e$ である必要はありませんが、底変換式があるため、本質的にどちらの底を使っても関係ありません。便宜上、指数関数とは、その底を $e$ とみなします。

定義 ¹

$x, y \in \mathbb{R}$ とした場合、複素数 $z \in \mathbb{C}$ に対して、$\exp : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ を次のように定義します。 $$ \exp z = e^{z} = e^{x + iy} = e^{x} \left( \cos y + i \sin y \right) $$

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• $e = 2.71828182 \cdots$ はオイラー定数です。

導出

カリキュラムで同じように扱われましたが、もう少し難しい用語で説明します。便宜上、底は $e$ に統一し、高校生のレベルまで詳しく説得するよりは、レビュー感覚で説明します。

自然数 $\mathbb{N}$

まず、指数関数の基礎である乗算は、ある自然数 $n \in \mathbb{N}$ について次のように自然に表現できます。ここで、$e$ に対する上付き文字としての $n$ は、$e$が何回乗算されたかを直感的に表します。 $$ e^{n} = \overbrace{e \cdot e \cdots e}^{n \text{ Times}} $$ さらに、二つの自然数 $n, m \in \mathbb{N}$ に対して、次が成り立つことを簡単に確認できます。 $$ e^{n+m} = e^{n} e^{m} $$

整数 $\mathbb{Z}$

体の公理により、すべての実数 $a \ne 0$ に対しては、乗算に関する逆元 $a^{-1}$ が存在しなければなりません。つまり、すべての $a = e^{n}$ に対して、次を満たす $a^{-1}$ が存在する必要があります。 $$ 1 = a \cdot a^{-1} = e^{n} \cdot a^{-1} $$ 直感的には、これは $e$ を何回割るかに相当します。この逆元を $a^{-1} = e^{-n}$ として表すことにより、指数関数は整数全体に拡張されます。

有理数 $\mathbb{Q}$

二つの整数 $n,m \in \mathbb{Z}$ と $a^{m}$ に対して、次を満たす $e^{n}$ を考えます。 $$ a^{m} = e^{n} $$ これは、$e$ を $n$ 回乗算すると $a^{m}$ となることを意味します。今、$a = e^{ {{ n } \over { m }} }$ として記述すれば $$ a^{m} = \left( e^{ {{ n } \over { m }} } \right)^{m} = \overbrace{e^{ {{ n } \over { m }} } \cdots e^{ {{ n } \over { m }} }}^{m \text{ Times}} $$ のように表せて、指数関数が有理数にもうまく拡張されていることがわかります。

実数 $\mathbb{R}$

実数の密度により、すべての実数 $x \in \mathbb{R}$ に収束する有理数の数列 $\left\{ r_{k} \right\}_{k=1}^{\infty}$ が存在しなければなりません。したがって、実数 $x \in \mathbb{R}$ に対する $e$ の乗算は、次のように定義されます。 $$ \exp(x) = e^{x} := \lim_{k \to \infty} e^{r_{k}} $$

複素数 $\mathbb{C}$

複素数の極座標表示: 複素数 $z \ne 0$ は、複素平面上の点 $P(x,y)$ に対応し、線分 $\overline{OP}$ の長さ $r := |z|$ と $x$ 軸と $\overline{OP}$ が作る反時計回りの角度 $\theta$ を通して、以下のように極座標表示^{polar representation}できます。 $$ z = r \left( \cos \theta + i \sin \theta \right) $$

最後に、複素関数への拡張は、上記のように形式的に行われます。上記の引用から、 $$ r = e^{x} \\ e^{iy} = \cos y + i \sin y $$ が自然に得られ、したがってそれを複素関数の一種である指数関数として定義します。 $$ \exp z = e^{z} = e^{x + iy} = e^{x} \left( \cos y + i \sin y \right) $$