📂数理統計学

効率的な推定量

定義 ¹

$Y$がパラメーター$\theta$に対する不偏推定量であるとしよう。

1. クラメール・ラオ下界 $\text{RC}$に対する推定量$Y$の効率^efficiencyは以下のように定義される： $$ {{ \text{RC} } \over { \operatorname{Var} (Y) }} $$
2. 効率が$1$の推定量を効率的推定量^{efficient estimator}と呼ぶ。

説明

クラメール・ラオ不等式： $$ \operatorname{Var} (Y) \ge {{ \left[ k’(\theta) \right]^{2} } \over { n I (\theta) }} = \text{RC} $$

上記の不等式により、効率が$1$を超えることは明らかに不可能である。

推定量が効率的であるというのは直感に完全に合っていて、実際の分散がクラメール・ラオ下界と等しいということは、その理論的な分散が可能な限り最小であることを意味している―パラメーター$\theta$を指し示すための推定量が、可能な限り狭い範囲で$\theta$を指し示すということである。

最良不偏推定量との違い

一見すると、最良不偏推定量と似ているように見えるが、効率的推定量はその分散が正確にクラメール・ラオ下界まで低下しており、理論上さらに良い不偏推定量であり、最良不偏推定量は理論的な限界までではないが、他のすべての不偏推定量を圧倒するだけで良い。最良であることが必ずしも効率が$1$になることを保証するわけではなく、分散を理論的な下限まで最小化できなくても、最良不偏推定量であることに全く問題はない。

効率的推定量は最良不偏推定量であるが、その逆が成り立つとは限らない。