📂関数

多項関数

定義 ¹

$n \in \mathbb{N}_{0}$ と $\left\{ a_{k} \right\}_{k=0}^{n} \subset \mathbb{C}$ に対して、次のように定義される $P: \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ を**$n$次の多項式関数**^{polynomial of degree $n$}という。 $$ P(z) := a_{0} + a_{1} z + \cdots a_{n} z^{n} \qquad , a_{n} \ne 0 $$

説明

多項式関数は、数学全般で最も基本的に考えられる関数であり、代数学の基本定理によって根がちょうど $n$ 個存在することが明らかにされている。

• 定義により、定数関数も多項式関数である。
• 多項式は無限回微分可能である。
• 連続関数である。

抽象代数

抽象代数の記法で、このような多項式関数の集合は $\mathbb{C}[x]$ と表される。ここで、係数の集合は必ずしも複素数体 $\mathbb{C}$ に限定されず、体 $F$ が与えられていれば $F [ x ]$ のように表すことができる。

多項式の次数は無限大でも構わない。$n = \infty$ の場合、そのような多項式の集合は $F[[x]]$ のように表される。