三角関数の定義
概要
三角関数は直角三角形の底角に三角比を対応させた関数だ。
定義
三角関数のサイン、コサイン$\sin, \cos : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$は以下のように定義される。
$$ \sin \theta := {{ y } \over { \sqrt{x^{2} + y^{2}} }} \\ \cos \theta := {{ x } \over { \sqrt{x^{2} + y^{2}} }} $$
これにより、セカント、コセカント、タンジェント、コタンジェントは次のように定義される。
$$ \begin{align*} \tan \theta &:= {{ \sin \theta } \over { \cos \theta }} \qquad, \cos \theta \ne 0 \\ \cot \theta &:= {{ \cos \theta } \over { \sin \theta }} \qquad, \sin \theta \ne 0 \\ \sec \theta &:= {{ 1 } \over { \cos \theta }} \qquad, \cos \theta \ne 0 \\ \csc \theta &:= {{ 1 } \over { \sin \theta }} \qquad, \sin \theta \ne 0 \end{align*} $$
複素関数への拡張 1
三角関数のサイン、コサイン$\sin, \cos : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$は以下のように定義される。
$$ \sin z := {{ 1 } \over { i2 }} \left( e^{iz} - e^{-iz} \right) \\ \cos z := {{ 1 } \over { 2 }} \left( e^{iz} + e^{-iz} \right) $$
基本性質
- [1] 三角関数は実数軸上で$2 \pi$-周期関数だ。
- [2] サイン関数は奇関数で、コサイン関数は偶関数だ。
参照
Osborne (1999). 複素変数及びその応用: p28. ↩︎