バートレットの同一性
定理
正則条件:
- (R0): 確率密度関数$f$は$\theta$に対して単射である。数式で示すと以下を満たす。 $$ \theta \ne \theta’ \implies f \left( x_{k} ; \theta \right) \ne f \left( x_{k} ; \theta’ \right) $$
- (R1): 確率密度関数$f$は全ての$\theta$に対して同じサポートを持つ。
- (R2): 真値$\theta_{0}$は$\Omega$の内点interior pointである。
- (R3): 確率密度関数$f$は$\theta$に対して二回微分可能である。
- (R4): 積分$\int f (x; \theta) dx$は積分記号を超えて$\theta$に対して二回微分可能である。
正則条件 (R0)~(R4)が満たされるとしよう。
- [1] 第1の恒等式: $$ E \left[ {{ \partial \log f ( X ; \theta ) } \over { \partial \theta }} \right] = 0 $$
- [2] 第2の恒等式: $$ E \left[ {{ \partial^{2} \log f ( X ; \theta ) } \over { \partial \theta^{2} }} \right] + \operatorname{Var} \left( {{ \partial \log f ( X ; \theta ) } \over { \partial \theta }} \right) = 0 $$
導出
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