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バートレットの同一性 📂数理統計学

バートレットの同一性

定理

正則条件:

  • (R0): 確率密度関数ffθ\thetaに対して単射である。数式で示すと以下を満たす。 θθ    f(xk;θ)f(xk;θ) \theta \ne \theta ' \implies f \left( x_{k} ; \theta \right) \ne f \left( x_{k} ; \theta ' \right)
  • (R1): 確率密度関数ffは全てのθ\thetaに対して同じサポートを持つ。
  • (R2): 真値θ0\theta_{0}Ω\Omega内点interior pointである。
  • (R3): 確率密度関数ffθ\thetaに対して二回微分可能である。
  • (R4): 積分f(x;θ)dx\int f (x; \theta) dxは積分記号を超えてθ\thetaに対して二回微分可能である。

正則条件 (R0)~(R4)が満たされるとしよう。

  • [1] 第1の恒等式: E[logf(X;θ)θ]=0 E \left[ {{ \partial \log f ( X ; \theta ) } \over { \partial \theta }} \right] = 0
  • [2] 第2の恒等式: E[2logf(X;θ)θ2]+Var(logf(X;θ)θ)=0 E \left[ {{ \partial^{2} \log f ( X ; \theta ) } \over { \partial \theta^{2} }} \right] + \Var \left( {{ \partial \log f ( X ; \theta ) } \over { \partial \theta }} \right) = 0

導出

正則条件を用いた直接演繹する。