ユークリッド空間

定義

自然数$n \in \mathbb{N}$に対し、実数の集合$\mathbb{R}$のデカルト積$\mathbb{R}^{n}$をユークリッド空間と呼ぶ。

$$ \mathbb{R}^{n} = \mathbb{R} \times \cdots \times \mathbb{R} $$

$\mathbb{R}^{1}$は実数空間または数直線と呼ばれる。
$\mathbb{R}^{2}$は平面と呼ばれる。
$\mathbb{R}^{3}$は**$3$次元空間**と呼ばれる。

ここで、$\mathbb{N} := \left\{ 1, 2, 3, \cdots \right\}$は自然数を全部集めた集合を意味する。$\mathbb{R}$は実数を全部集めた集合を意味する。

説明

ユークリッド空間は、幾何学原論の著者であるユークリッドの名を冠した空間で、私たちが生きている$3$次元空間を含め、平面、数直線はもちろん、それ以上の多次元空間まで表現する空間だ。

私たちの生活と密接に関連しているため、多くの理論で全体の空間としてユークリッド空間が仮定されることが多い。もちろん、ユークリッド空間だけでは、深く複雑な科学技術の理論を全て説明することはできず、YouTubeに生息する疑似数学者、疑似科学者たちのおもちゃになることもある。

多次元への拡張は、時空間が$\mathbb{R}^{1+3}$であるからとか、弦理論で$\mathbb{R}^{11}$となるといった派手な目的がなくとも必ず必要なものだ。代表的には統計学での応用もあり、空間自体が$3$次元であっても、速度や加速度を導入するために$9$次元が必要になることもある。もしこの文章を読んでいる読者が主に工学、または実用的な物理学までの学びを希望しているなら、実際には通常のユークリッド空間を抜け出すことはないかもしれない。式や証明なしにロマンを歌う教養書を見て夢を育てても仕方がない。しかし、それを越えた数学や物理の世界に興呀があれば、ユークリッド空間を足場と見なして早く慣れるべきだ。