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複素数の定義 📂複素解析

複素数の定義

定義 1

  1. 二次方程式x2+1=0x^{2} +1 = 0の解x=−1x = \sqrt{-1}を、虚数imaginary numberというんだ。
  2. ２つの実数x,y∈Rx,y \in \mathbb{R}に対して、z=x+iyz = x + iyの形の数を、複素数complex numberと言って、(x,y)(x,y)みたいに表示することもある。この時、Re⁡(z)=x\operatorname{Re} (z) = xとIm⁡(z)=y\operatorname{Im} (z) = yをそれぞれzzの実部real Partと虚部imaginary Partと言うんだ。
  3. 全ての複素数の集合をC\mathbb{C}で表すんだ。複素数z1,z2∈Cz_{1}, z_{2} \in \mathbb{C}が等しいequalってのは、実部と虚部がそれぞれ等しいってことだ。 Re⁡z1=Re⁡z2Im⁡z1=Im⁡z2 \operatorname{Re} z_{1} = \operatorname{Re} z_{2} \\ \operatorname{Im} z_{1} = \operatorname{Im} z_{2}
  4. 複素数の大きさをモジュラスmodulusって呼び、以下のように定義されるんだ。 ∣z∣:=x2+y2 | z | := \sqrt{x^{2} + y^{2}}

説明

  • 虚部Im⁡z=y∈R\operatorname{Im} z = y \in \mathbb{R}には、虚数単位iiが掛けられていないことに注意しよう。
  • 物理学や工学では、iiが電流を表すから、虚数単位をj:=−1j := \sqrt{-1}と表すこともあるんだ。
  • 教科書では、複素数を表示するとき、一般に1+2i1 + 2iとしてiiを数字の後に書くけど、数学に近い文献では、1+i21 + i2のようにiiを数字の前に書く傾向が強くなる。これはもうiiを文字として見なさず、他の数と同じように等価な数として扱いたいって意図があって、iiを基準にして前が実部、後が虚部と区分されるから、実際に使ってみるとこの表示方法は実用的だと分かるんだ。

歴史

歴史的に見て、虚数は1545年、確率論の先駆者であるカルダノcardanoの著作アルス・マグナars Magnaで初めて紹介されたんだ。数学界で完全に受け入れられたのは、19世紀頃になってからだった。ガウスGaussはiiに想像上の数imaginary numberって現在の名前を付けて、代数学の基本定理の証明に使ったんだ。記号ii自体は、オイラーeulerの1777年の回顧録で登場するんだ。

複素平面 2

C∋x+iy=(x,y)∈R2 \mathbb{C} \ni x + iy = (x,y) \in \mathbb{R}^{2}

定義から推測できるように、複素数C\mathbb{C}の集合は、22次元平面R2\mathbb{R}^{2}のように見ることができ、実際にも、そうと同じ議論を代数的に導出できるんだ。記号そのままでxxはxx軸、yyはyy軸を表してると見なされ、これからは実数軸、虚数軸を意味することになる。ピタゴラスの定理を考えた時、複素数の大きさモジュラスが∣z∣:=x2+y2| z | := \sqrt{x^{2} + y^{2}}のように定義されることは、非常に合理的だ。

体の公理

z1+z2=(Re⁡z1+Re⁡z2,Im⁡z1+Im⁡z2)z1⋅z2=(Re⁡z1Re⁡z2−Im⁡z1Im⁡z2,Re⁡z1Im⁡z2−Im⁡z1Re⁡z2) \begin{align*} z_{1} + z_{2} =& \left( \operatorname{Re} z_{1} + \operatorname{Re} z_{2} , \operatorname{Im} z_{1} + \operatorname{Im} z_{2} \right) \\ z_{1} \cdot z_{2} =& \left( \operatorname{Re} z_{1} \operatorname{Re} z_{2} - \operatorname{Im} z_{1} \operatorname{Im} z_{2} , \operatorname{Re} z_{1} \operatorname{Im} z_{2} - \operatorname{Im} z_{1} \operatorname{Re} z_{2} \right) \end{align*}

複素数z1,z2∈Cz_{1}, z_{2} \in \mathbb{C}に対する二項演算である加算sum+:C2→C+: \mathbb{C}^{2} \to \mathbb{C}と乗算product⋅:C2→C\cdot: \mathbb{C}^{2} \to \mathbb{C}を上記のように定義すると、C\mathbb{C}は代数的に体になり、C\mathbb{C}を複素数体complex fieldって呼ぶんだ。解析学序論の実数体と同じように、体の公理が全て成立するんだ。

  1. Osborne (1999). 『Complex Variables and Their Applications』p1~4よ。 ↩︎

  2. Osborne (1999). 『Complex Variables and Their Applications』p8~9よ。 ↩︎