📂動力学

SIRモデル：最も基本的な拡散モデル

概要

SIRモデルは、疾病や情報の拡散をシンプルかつ直感的によく説明する、最も単純で多くの変形を持つ力学的区画モデルのひとつだ。

モデル ¹

$$ \begin{align*} {{d S} \over {d t}} =& - {{ \beta } \over { N }} I S \\ {{d I} \over {d t}} =& {{ \beta } \over { N }} S I - \mu I \\ {{d R} \over {d t}} =& \mu I \end{align*} $$

変数

• $S(t)$: $t$の時点で病気にかかりうる^susceptible集団の個体数を示す。
• $I(t)$: $t$の時点で病気を伝えうる^infectious集団の個体数を示す。情報の拡散の文脈では、Informedの頭文字をとることもある。
• $R(t)$: $t$の時点で回復した^recovered集団の個体数を示す。情報の拡散の文脈では、RefractoryやRemovedの頭文字をとり、シミュレーション上で反応しなくなり扱わない意味をもつこともある。
• $N(t) = S(t) + I(t) + R(t)$: 総個体数を示す。バイタルダイナミクス^{vital dynamics}が考慮されていない場合、通常は保存量(定数)として扱われ、変数を全人口の比率として扱う場合には、しばしば$N(t) = 1$と表される。

パラメータ

• $\beta>0$: 伝染率^{infection rate}である。
• $\mu>0$: 回復率^{recovery rate}である。

説明

変数で言及されたバイタルダイナミクスは、文字通り各個体の生涯を考慮し、生まれて年を取り、死んでいくことで総個体数自体が変化することを意味する。長い時間にわたる分析や、風土病に関してではない限り、特に重視されることはない。

導出

ロトカ-ヴォルテラ 捕食者-被食者モデル: $$ \begin{align*} \dot{x} =& a x - b y \cdot x \\ \dot{y} =& c x \cdot y - d y \end{align*} $$

ロトカ-ヴォルテラ競争モデルの特別な場合と見なせば、導出はほとんど終わったと同じだ。$S$は病気に関する被食者$S = x$、$I$は自然に捕食者$I = y$となる。被食者集団が病気に対する対抗手段がないと仮定すると$a = 0$で、$b = c := \beta / N$、$d = \mu$とすれば

$$ \begin{align*} {{d S} \over {d t}} =& - {{ \beta } \over { N }} I S \\ {{d I} \over {d t}} =& {{ \beta } \over { N }} S I - \mu I \end{align*} $$

ここに、単に$R$の変化率を$\displaystyle {{d R} \over {d t}} = \mu I$のように加えるだけで、SIRモデルのシステムを得る。

■

基本感染再生産数

$$\mathcal{R}_{0} = {{ \beta } \over { \mu }}$$

正確には、ヤコビ行列で固有値を正確に求めることができるが、計算が多いので省略し、手軽な方法を考えよう。最初の伝染病が広がり始める時期、つまり$S \approx N$の時、この伝染病が最終的に大発生へとつながるためには$\displaystyle {{ d I } \over { d t }} > 0$でなければならない。言い換えれば$I(0) > 0$に対して $$ {{ \beta } \over { N }} N I - \mu I \approx ( \beta - \mu ) I > 0 $$ 数式で$\displaystyle {{ \beta } \over { \mu }} > 1$であれば、$I$は続けて増加し、大発生が起こる。この観点から、$\displaystyle \mathcal{R}_{0} := {{ \beta } \over { \mu }}$は流行の臨界値^{epidemic Threshold2}とも呼べる。

変形

SIRSモデル：一時的免疫 ³⁴

基本的にR^recovered状態は、病気から回復した状態、つまり病気に対する永久的な免疫を得たものと仮定している。しかし、以下のように項$\nu R$を入れることで免疫喪失を反映させることができる。SIRとは異なり、直感的に風土病^endemicを扱うことができる。

$$ \begin{align*} {{d S} \over {d t}} =& - {{ \beta } \over { N }} I S + \nu R \\ {{d I} \over {d t}} =& {{ \beta } \over { N }} S I - \mu I \\ {{d R} \over {d t}} =& \mu I - \nu R \end{align*} $$

保菌者 ³

保菌者^carrierは病気を広げるが、臨床的な症状はない個体を指す。これらの数$C$が一定であれば、SIRシステムは次のように修正できる。

$$ \begin{align*} {{d S} \over {d t}} =& - {{ \beta } \over { N }} (I + C) S \\ {{d I} \over {d t}} =& {{ \beta } \over { N }} S (I + C) - \mu I \\ {{d R} \over {d t}} =& \mu I \end{align*} $$

バイタルダイナミクス

ロジスティック成長モデルと同様に、出生率$r>0$と死亡率$\gamma>0$を与えてバイタルダイナミクスを考慮できる。ここでは死亡率は感染の有無にかかわらず同様に適用され、成長率も感染状態を問わず現在の総個体数$N(t) = S(t) + I(t) + R(t)$に比例する。

$$ \begin{align*} {{d S} \over {d t}} =& - \gamma S - {{ \beta } \over { N }} I S + r N \\ {{d I} \over {d t}} =& - \gamma I + {{ \beta } \over { N }} S I - \mu I \\ {{d R} \over {d t}} =& - \gamma R + \mu I \end{align*} $$

垂直感染

垂直感染または母子感染は母体から新生児に直接伝わる感染⁵を指し、B型肝炎ウイルスがその例の一つだ。これを反映するために、上記のバイタルダイナミクスから得られたシステムを、垂直感染確率$q \in (0,1)$を与え、次のように修正することができる。

$$ \begin{align*} {{d S} \over {d t}} =& - \gamma S - {{ \beta } \over { N }} I S + r ( 1- q) N \\ {{d I} \over {d t}} =& - \gamma I + {{ \beta } \over { N }} S I - \mu I + r q N \\ {{d R} \over {d t}} =& - \gamma R + \mu I \end{align*} $$

$r q N$は病気を持って生まれてくる新生児に対する項である。