📂数理統計学

多変量確率変数の分布収束

定義¹

$p$次元ランダムベクトル$\mathbf{X}$とランダムベクトルのシークエンス$\left\{ \mathbf{X}_{n} \right\}$が次の条件を満たす時、$n \to \infty$で、$\mathbf{X}_{n}$が$\mathbf{X}$に分布収束すると言い、$\mathbf{X}_{n} \overset{D}{\to} \mathbf{X}$と示される。 $$\lim_{n \to \infty} F_{\mathbf{X}_{n}} (x) = F_{\mathbf{X}} (x) \qquad, \forall x \in C_{F_{\mathbf{X}}}$$

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• $F_{X}$は確率変数$X$の累積分布関数だ。
• $C_{F_{\mathbf{X}}}$は関数$F_{\mathbf{X}}$が連続である点の集合を表している。

多変量中心極限定理

$\left\{ \mathbf{X}_{n} \right\}$が平均ベクトル$\mathbf{\mu} \in \mathbb{R}^{p}$と共分散行列$\Sigma \in \mathbb{R}^{p \times p}$を持つiidのランダムベクトルのシークエンスとする。ゼロベクトル$\mathbf{0}$の近傍で、モーメント生成関数$m ( \mathbf{t})$の存在を仮定し、$\mathbf{Y}_{n}$を以下のように定義する。 $$\mathbf{Y}_{n} := {{ 1 } \over { \sqrt{n} }} \sum_{k=1}^{n} \left( \mathbf{X}_{k} - \mathbf{\mu} \right) = \sqrt{n} \left( \overline{\mathbf{X}} - \mathbf{\mu} \right)$$ すると、$\mathbf{Y}_{n}$は多変量正規分布$N_{p} \left( \mathbb{0} , \mathbf{\Sigma} \right)$に分布収束する。

証明

ゼロベクトル$\mathbf{0}$の近傍の$\mathbf{t} \in \mathbb{R}^{p}$に対して、$Y_{n}$のモーメント生成関数は次の通り。$W_{k} := \mathbf{t} ' \left( \mathbf{X} - \mathbf{\mu} \right)$とする $$ \begin{align*} M_{n} \left( \mathbf{t} \right) =& E \left[ \exp \left\{ \mathbf{t}’ { { 1 } \over { \sqrt{n} } } \sum_{k=1}^{n} \left( \mathbf{X}_{k} - \mathbf{\mu} \right) \right\} \right] \\ =& E \left[ \exp \left\{ { { 1 } \over { \sqrt{n} } } \sum_{k=1}^{n} \mathbf{t} ' \left( \mathbf{X}_{k} - \mathbf{\mu} \right) \right\} \right] \\ =& E \left[ \exp \left\{ { { 1 } \over { \sqrt{n} } } \sum_{k=1}^{n} W_{k} \right\} \right] \end{align*} $$ ここで$W_{k}$たちはiidで平均が$0$、分散が$\text{Var} \left( W_{k} \right) = \mathbf{t} ' \mathbf{\Sigma} \mathbf{t}$なので、一変量中心極限定理によると $$ { { 1 } \over { \sqrt{n} } } \sum_{k=1}^{n} W_{k} \overset{D}{\to} N \left( 0, \mathbf{t} ' \mathbf{\Sigma} \mathbf{t} \right) $$ これは、$n \to \infty$の時、$M_{n} \left( \mathbf{t} \right)$は $$ M_{n} \left( \mathbf{t} \right) \to e^{\mathbf{t} ' \mathbf{\Sigma} \mathbf{t} / 2} $$ これは多変量正規分布$N_{p} \left( \mathbf{0}, \mathbf{\Sigma} \right)$のモーメント生成関数である。

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