ハミルトニアン演算子
定義
量子力学において、ハミルトニアン演算子Hamiltonian Operator $H$とは次のようなものである。
$$ H = \dfrac{P^{2}}{2m} + V $$
ここで$P$は運動量演算子、$m$は粒子の質量、$V$はポテンシャルである。
説明
しばしば簡単にハミルトニアンと呼ばれる。ハミルトニアンは古典力学における粒子の全エネルギー、すなわち運動エネルギーとポテンシャルエネルギーの和$E = \frac{p^{2}}{2m} + V$に対応するエネルギー演算子である。定義に運動量演算子 $P = -\i\hbar\frac{\partial}{\partial x}$を代入すると具体的には次のようになる。
$$ H = -\dfrac{\hbar^{2}}{2m}\dfrac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} + V $$
3次元では次のようになる。
$$ H = -\dfrac{\hbar^{2}}{2m}\nabla^{2} + V $$
ハミルトニアンの固有値方程式がすなわち時間に依存しないシュレディンガー方程式である。
$$ H \psi = E \psi $$
波動関数 $\psi$が$H$の固有関数であれば、固有値$E$はその状態のエネルギーとして解釈される。時間に依存するシュレディンガー方程式もまたハミルトニアンで簡単に表現される。
$$ \i\hbar \dfrac{\partial \psi}{\partial t} = H \psi $$
エネルギーは観測可能な物理量であるため、ハミルトニアンはエルミート演算子であり、したがってその固有値であるエネルギーは常に実数である。