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양자역학에서 조화진동자 📂量子力学

양자역학에서 조화진동자

導入

時間に依らないシュレーディンガー方程式は次のとおりである。

$$ -\frac{\hbar^{2}}{2m} \frac{ d^{2}\psi }{ dx^{2} } + V\psi = E\psi $$

調和振動子のポテンシャルはばね定数 $k$ に対して $V=\frac{1}{2}kx^{2}$ で与えられる。 このとき角振動数 $\omega$ に対して $k = m\omega^{2}$ だから、これを代入すると以下のような調和振動子のシュレーディンガー方程式が得られる。

方程式

量子力学における調和振動子のシュレーディンガー方程式は次のとおりである。

$$ -\frac{\hbar^{2}}{2m} \frac{ d^{2}\psi }{ dx^{2} } + \dfrac{1}{2} m \omega^{2} x^{2} \psi = E\psi $$

説明

古典力学でそうであったように、量子力学においても調和振動子は基本的で重要な系である。大きく分けて二つの解法がある。