📂微分積分学

パラメトリック方程式

ビルドアップ

2次元平面上の粒子の位置を数式で表現しようとする状況を考えてみよう。粒子が動く経路は次の図の通りだ。

上の図の経路を $x$に対する関数、つまり $y = f(x)$の形で表すことは不可能だ。これは、$x_{0}$のような点では対応する $y$の値が複数あるためだ。（関数は定義域の1点 $x$を1つの $y$に対応させるものである。）このような場合は、$x$の値と $y$の値をそれぞれ新しい変数に対する関数として表現するのが自然だ。

$$x = f(t) \qquad y = g(t)$$

定義

$n$個の変数 $x, y, z, \dots$を新しい1つの変数 $t$に対する関数として表現したものを 媒介変数方程式^{parametric equation}と呼ぶ。

$$\begin{align*} x &= f(t)\\ y &= g(t)\\ z &= h(t)\\ &\ \ \vdots \end{align*}$$

この時、変数 $t$を 媒介変数^parameterと呼ぶ。

例

半径が $r$の円運動をする粒子の位置は次のような媒介変数方程式で表される。

$$x(t) = r \cos t \qquad y(t) = r \sin t$$