対角行列
対角行列1
$A$をサイズが$n\times m$の行列としよう。行と列の番号が同じ要素、つまり$a_{ii} (1 \le i \le \min(n,m))$を主対角成分main diagonal elementsという。主対角成分を結ぶ仮想の線を主対角線main diagonal, principal diagonalと言う。
主対角成分以外の全ての成分が$0$である行列$A$を対角行列diagonal matrixという。
$$ A = [a_{ij}], \qquad a_{ij} = 0 (i \ne j) $$
説明
$$ A=\begin{bmatrix} \color{red}{a_{11}} & 0 & 0 \\ 0 & \color{red}{a_{22}} & 0 \\ 0 & 0 & \color{red}{a_{33}} \end{bmatrix} \quad A=\begin{bmatrix} \color{red}{a_{11}} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \color{red}{a_{22}} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \color{red}{a_{33}} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \color{red}{a_{44}} & 0 \end{bmatrix} $$
上の例示の通り、正方行列でなくても主対角成分、対角行列を定義できる。
定義により、対角行列は下三角行列であり、同時に上三角行列でもある。
性質
べき乗
$A = \begin{bmatrix} a_{ij}\end{bmatrix}$をサイズが$n\times n$の対角行列としよう。すると、$A$のべき乗は次のようになる。
$$ A^{k}=\begin{bmatrix} (a_{11})^{k} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & (a_{22})^{k} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & (a_{nn})^{k} \end{bmatrix} $$
逆行列
$A$の逆行列は次の通りだ。言い換えれば、べき乗に関する性質は$k$が負の時も自然に拡張される。
$$ A^{-1} = \begin{bmatrix} \dfrac{1}{a_{11}} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \dfrac{1}{a_{22}} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \dfrac{1}{a_{nn}} \end{bmatrix} $$
行列式
余因子展開を考えれば、対角行列の行列式は全ての対角成分の積であることが分かる。対角行列$n \times n$の行列式は、
$$ \det [a_{ij}] = a_{11} \times \cdots \times a_{nn} $$
Howard Anton, Elementary Linear Algebra: Applications Version (12版, 2019), p69-71 ↩︎