📂行列代数

対角行列

対角行列¹

$A$をサイズが$n\times m$の行列としよう。行と列の番号が同じ要素、つまり$a_{ii} (1 \le i \le \min(n,m))$を主対角成分^{main diagonal elements}という。主対角成分を結ぶ仮想の線を主対角線^{main diagonal, principal diagonal}と言う。

主対角成分以外の全ての成分が$0$である行列$A$を対角行列^{diagonal matrix}という。

$$ A = [a_{ij}] = \delta_{ij} = \begin{cases} 1 & i=j \\ 0 & i \ne j \end{cases} $$

ここで、$\delta$はクロネッカーのデルタだ。

説明

$$ A=\begin{bmatrix} \color{red}{a_{11}} & 0 & 0 \\ 0 & \color{red}{a_{22}} & 0 \\ 0 & 0 & \color{red}{a_{33}} \end{bmatrix} \quad A=\begin{bmatrix} \color{red}{a_{11}} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \color{red}{a_{22}} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \color{red}{a_{33}} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \color{red}{a_{44}} & 0 \end{bmatrix} $$

上の例示の通り、正方行列でなくても主対角成分、対角行列を定義できる。

定義により、対角行列は下三角行列であり、同時に上三角行列でもある。

性質

べき乗

$A = \begin{bmatrix} a_{ij}\end{bmatrix}$をサイズが$n\times n$の対角行列としよう。すると、$A$のべき乗は次のようになる。

$$ A^{k}=\begin{bmatrix} (a_{11})^{k} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & (a_{22})^{k} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & (a_{nn})^{k} \end{bmatrix} $$

逆行列

$A$の逆行列は次の通りだ。言い換えれば、べき乗に関する性質は$k$が負の時も自然に拡張される。

$$ A^{-1} = \begin{bmatrix} \dfrac{1}{a_{11}} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \dfrac{1}{a_{22}} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \dfrac{1}{a_{nn}} \end{bmatrix} $$

行列式

余因子展開を考えれば、対角行列の行列式は全ての対角成分の積であることが分かる。対角行列$n \times n$の行列式は、

$$ \det [a_{ij}] = a_{11} \times \cdots \times a_{nn} $$