多変量正規分布

定義

母平均ベクトル $\mathbf{\mu} \in \mathbb{R}^{p}$ と共分散行列 $\Sigma \in \mathbb{R}^{p \times p}$ に対して、以下のような確率密度関数を持つ多変量分布 $N_{p} \left( \mu , \Sigma \right)$ を 多変量正規分布^{multivariate Normal distribution} と呼ぶ。

$$ f (\textbf{x}) = \left( (2\pi)^{p} \det \Sigma \right)^{-1/2} \exp \left[ - {{ 1 } \over { 2 }} \left( \textbf{x} - \mathbf{\mu} \right)^{T} \Sigma^{-1} \left( \textbf{x} - \mathbf{\mu} \right) \right] \qquad , \textbf{x} \in \mathbb{R}^{p} $$

$\mathbf{x}^{T}$ は $\mathbf{x}$ の転置を意味する。

定理

$$ \begin{align*} \mathbf{X} =& \begin{bmatrix} \mathbf{X}_{1} \\ \mathbf{X}_{2} \end{bmatrix} & : \Omega \to \mathbb{R}^{n} \\ \mu =& \begin{bmatrix} \mu_{1} \\ \mu_{2} \end{bmatrix} & \in \mathbb{R}^{n} \\ \Sigma =& \begin{bmatrix} \Sigma_{11} & \Sigma_{12} \\ \Sigma_{21} & \Sigma_{22} \end{bmatrix} & \in \mathbb{R}^{n \times n} \end{align*} $$ 以下の定理の陳述において、$\mathbf{X}$, $\mu$, $\Sigma$ について特別な説明がない限り、上記と同じブロック行列を意味する。

多変量正規分布の線形変換

行列 $A \in \mathbb{R}^{m \times n}$ とベクトル $\mathbf{b} \in \mathbb{R}^{m}$ に対して、多変量正規分布に従うランダムベクトル $\mathbf{X} \sim N_{n} \left( \mu , \Sigma \right)$ の線形変換 $\mathbf{Y} = A \mathbf{X} + \mathbf{b}$ は依然として多変量正規分布 $N_{m} \left( A \mu + \mathbf{b} , A \Sigma A^{T} \right)$ に従う。

多変量正規分布における独立性とゼロ相関は同値である

多変量正規分布に従うランダムベクトル $\mathbf{X} \sim N_{n} \left( \mu , \Sigma \right)$ が与えられたとする。すると、次が成り立つ。 $$ \mathbf{X}_{1} \perp \mathbf{X}_{2} \iff \Sigma_{12} = \Sigma_{21} = O $$

多変量正規分布の条件付き平均と分散

多変量正規分布に従うランダムベクトル $\mathbf{X} \sim N_{n} \left( \mu , \Sigma \right)$ が与えられたとする。このとき、条件付き確率ベクトル $\mathbf{X}_{1} | \mathbf{X}_{2} : \Omega \to \mathbb{R}^{m}$ は依然として多変量正規分布に従い、具体的には次のように母平均ベクトルと母共分散行列を持つ。 $$ \mathbf{X}_{1} | \mathbf{X}_{2} \sim N_{m} \left( \mu_{1} + \Sigma_{12} \Sigma_{22}^{-1} \left( \mathbf{X}_{2} - \mu_{2} \right) , \Sigma_{11} - \Sigma_{12} \Sigma_{22}^{-1} \Sigma_{21} \right) $$

回帰係数ベクトルの多変量正規性

回帰係数の推定量 $\hat{\beta}$ は次のような多変量正規分布に従う。 $$ \hat{\beta} \sim N_{1+p} \left( \beta , \sigma^{2} \left( X^{T} X \right)^{-1} \right) $$

積率生成関数

$X \sim N_{p} \left( \mu , \Sigma \right)$ の積率生成関数は次のとおりである。 $$ M_{X} \left( \mathbf{t} \right) = \exp \left( \mathbf{t}^{T} \mu + {{ 1 } \over { 2 }} \mathbf{t}^{T} \Sigma \mathbf{t} \right) \qquad , \mathbf{t} \in \mathbb{R}^{p} $$

エントロピー

多変量正規分布 $N_{p}(\mu, \Sigma)$ のエントロピーは次のとおりである。

$$ H = \dfrac{1}{2}\ln \left[ (2 \pi e)^{p} \left| \Sigma \right| \right] = \dfrac{1}{2}\ln (\det (2\pi e \Sigma)) $$

$\left| \Sigma \right|$ は共分散行列の行列式である。

相対エントロピー

二つの多変量正規分布 $N(\mu, \Sigma)$ と $N(\boldsymbol{\mu_{1}}, \Sigma_{1})$ 間の相対エントロピーは次のとおりである。

$$ \begin{array}{l} D_{\text{KL}}\big( N(\mu, \Sigma) \| N(\boldsymbol{\mu_{1}}, \Sigma_{1}) \big) \\[1em] = \dfrac{1}{2} \left[ \log \left( \dfrac{|\Sigma|}{|\Sigma_{1}|} \right) + \Tr(\Sigma_{1}^{-1}\Sigma) + (\mu - \boldsymbol{\mu_{1}})^{\mathsf{T}} \Sigma_{1}^{-1} (\mu - \boldsymbol{\mu_{1}}) - k \right] \end{array} $$