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多変量正規分布 📂確率分布論

多変量正規分布

定義

母平均ベクトル μ∈Rp\mathbf{\mu} \in \mathbb{R}^{p} と共分散行列 Σ∈Rp×p\Sigma \in \mathbb{R}^{p \times p} に対して、以下のような確率密度関数を持つ多変量分布 Np(μ,Σ)N_{p} \left( \mu , \Sigma \right) を 多変量正規分布multivariate Normal distribution と呼ぶ。

f(x)=((2π)pdet⁡Σ)−1/2exp⁡[−12(x−μ)TΣ−1(x−μ)],x∈Rp f (\textbf{x}) = \left( (2\pi)^{p} \det \Sigma \right)^{-1/2} \exp \left[ - {{ 1 } \over { 2 }} \left( \textbf{x} - \mathbf{\mu} \right)^{T} \Sigma^{-1} \left( \textbf{x} - \mathbf{\mu} \right) \right] \qquad , \textbf{x} \in \mathbb{R}^{p}

  • xT\mathbf{x}^{T} は x\mathbf{x} の転置を意味する。

定理

X=[X1X2]:Ω→Rnμ=[μ1μ2]∈RnΣ=[Σ11Σ12Σ21Σ22]∈Rn×n \begin{align*} \mathbf{X} =& \begin{bmatrix} \mathbf{X}_{1} \\ \mathbf{X}_{2} \end{bmatrix} & : \Omega \to \mathbb{R}^{n} \\ \mu =& \begin{bmatrix} \mu_{1} \\ \mu_{2} \end{bmatrix} & \in \mathbb{R}^{n} \\ \Sigma =& \begin{bmatrix} \Sigma_{11} & \Sigma_{12} \\ \Sigma_{21} & \Sigma_{22} \end{bmatrix} & \in \mathbb{R}^{n \times n} \end{align*} 以下の定理の陳述において、X\mathbf{X}, μ\mu, Σ\Sigma について特別な説明がない限り、上記と同じブロック行列を意味する。

多変量正規分布の線形変換

行列 A∈Rm×nA \in \mathbb{R}^{m \times n} とベクトル b∈Rm\mathbf{b} \in \mathbb{R}^{m} に対して、多変量正規分布 に従う ランダムベクトル X∼Nn(μ,Σ)\mathbf{X} \sim N_{n} \left( \mu , \Sigma \right) の線形変換 Y=AX+b\mathbf{Y} = A \mathbf{X} + \mathbf{b} は依然として多変量正規分布 Nm(Aμ+b,AΣAT)N_{m} \left( A \mu + \mathbf{b} , A \Sigma A^{T} \right) に従う。

多変量正規分布における独立性とゼロ相関は同値である

多変量正規分布 に従うランダムベクトル X∼Nn(μ,Σ)\mathbf{X} \sim N_{n} \left( \mu , \Sigma \right) が与えられたとする。すると、次が成り立つ。 X1⊥X2  ⟺  Σ12=Σ21=O \mathbf{X}_{1} \perp \mathbf{X}_{2} \iff \Sigma_{12} = \Sigma_{21} = O

多変量正規分布の条件付き平均と分散

多変量正規分布 に従うランダムベクトル X∼Nn(μ,Σ)\mathbf{X} \sim N_{n} \left( \mu , \Sigma \right) が与えられたとする。このとき、条件付き確率ベクトル X1∣X2:Ω→Rm\mathbf{X}_{1} | \mathbf{X}_{2} : \Omega \to \mathbb{R}^{m} は依然として多変量正規分布に従い、具体的には次のように母平均ベクトルと母共分散行列を持つ。 X1∣X2∼Nm(μ1+Σ12Σ22−1(X2−μ2),Σ11−Σ12Σ22−1Σ21) \mathbf{X}_{1} | \mathbf{X}_{2} \sim N_{m} \left( \mu_{1} + \Sigma_{12} \Sigma_{22}^{-1} \left( \mathbf{X}_{2} - \mu_{2} \right) , \Sigma_{11} - \Sigma_{12} \Sigma_{22}^{-1} \Sigma_{21} \right)

回帰係数ベクトルの多変量正規性

回帰係数の推定量 β^\hat{\beta} は次のような多変量正規分布に従う。 β^∼N1+p(β,σ2(XTX)−1) \hat{\beta} \sim N_{1+p} \left( \beta , \sigma^{2} \left( X^{T} X \right)^{-1} \right)

積率生成関数

X∼Np(μ,Σ)X \sim N_{p} \left( \mu , \Sigma \right) の積率生成関数は次のとおりである。 MX(t)=exp⁡(tTμ+12tTΣt),t∈Rp M_{X} \left( \mathbf{t} \right) = \exp \left( \mathbf{t}^{T} \mu + {{ 1 } \over { 2 }} \mathbf{t}^{T} \Sigma \mathbf{t} \right) \qquad , \mathbf{t} \in \mathbb{R}^{p}

エントロピー

多変量正規分布 Np(μ,Σ)N_{p}(\mu, \Sigma) のエントロピーは次のとおりである。

H=12ln⁡[(2πe)p∣Σ∣]=12ln⁡(det⁡(2πeΣ)) H = \dfrac{1}{2}\ln \left[ (2 \pi e)^{p} \left| \Sigma \right| \right] = \dfrac{1}{2}\ln (\det (2\pi e \Sigma))

∣Σ∣\left| \Sigma \right| は共分散行列の行列式である。

相対エントロピー

二つの多変量正規分布 N(μ,Σ)N(\mu, \Sigma) と N(μ1,Σ1)N(\boldsymbol{\mu_{1}}, \Sigma_{1}) 間の相対エントロピーは次のとおりである。

DKL(N(μ,Σ)∥N(μ1,Σ1))=12[log⁡(∣Σ∣∣Σ1∣)+Tr⁡(Σ1−1Σ)+(μ−μ1)TΣ1−1(μ−μ1)−k] \begin{array}{l} D_{\text{KL}}\big( N(\mu, \Sigma) \| N(\boldsymbol{\mu_{1}}, \Sigma_{1}) \big) \\[1em] = \dfrac{1}{2} \left[ \log \left( \dfrac{|\Sigma|}{|\Sigma_{1}|} \right) + \Tr(\Sigma_{1}^{-1}\Sigma) + (\mu - \boldsymbol{\mu_{1}})^{\mathsf{T}} \Sigma_{1}^{-1} (\mu - \boldsymbol{\mu_{1}}) - k \right] \end{array}

関連項目

  • 一変量正規分布: p=1p = 1 で、μ∈R1\mu \in \mathbb{R}^{1} が成立し、Σ∈R1×1\Sigma \in \mathbb{R}^{1 \times 1} のとき、上記の確率密度関数は正確に一変量正規分布の確率密度関数となる。