📂数理統計学

多変量確率変数の確率収束

定義 ¹

$p$次元のランダムベクトル$\mathbf{X}$とランダムベクトルのシーケンス$\left\{ \mathbf{X}_{n} \right\}$が下記を満たす時、$n \to \infty$に対して$\mathbf{X}_{n}$が$\mathbf{X}$に確率収束^{convergence in Probability}すると言い、$\mathbf{X} _ {n} \overset{P}{\to} \mathbf{X}$と表す。 $$\forall \varepsilon > 0 , \lim_{n \to \infty} P \left[ \left\| \mathbf{X}_{n} - \mathbf{X} \right\| < \varepsilon \right] = 1$$

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• $\| \cdot \|$はユークリッドノルムで、$\left\| \left( x_{1} , \cdots , x_{n} \right) \right\| = \sqrt{ x_{1}^{2} + \cdots + x_{n}^{2}}$として定義される。

定理

$p$次元のランダムベクトルを$\mathbf{X} = \left( X_{1} , \cdots , X_{p} \right)$と表そう。すると $$\mathbf{X}_{n} \overset{P}{\to} \mathbf{X} \iff X_{nk} \overset{P}{\to} X_{k} \qquad, \forall k = 1, \cdots, p$$

証明

$(\Rightarrow)$

$\mathbf{X}_{n} \overset{P}{\to} \mathbf{X}$とする。ユークリッドノルムの定義に従って$\varepsilon > 0$について $$\varepsilon \le \left| X_{nk} - X_{k} \right| \le \left\| \mathbf{X}_{nk} - \mathbf{X}_{k} \right\|$$ であるから $$\limsup_{n \to \infty} P \left[ \left| X_{nk} - X_{k} \right| \ge \varepsilon \right] \le \limsup_{n \to \infty} P \left[ \left\| \mathbf{X}_{nk} - \mathbf{X}_{k} \right\| \ge \varepsilon \right] = 0$$

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$(\Leftarrow)$

$X_{nk} \overset{P}{\to} X_{k} , \forall k = 1, \cdots, p$とする。ユークリッドノルムの定義に従って$\varepsilon > 0$について $$\varepsilon \le \left\| \mathbf{X}_{n} - \mathbf{X} \right\| \le \sum_{k=1}^{p} \left| X_{nk} - X_{k} \right|$$ であるから $$\begin{align*} & \limsup_{n \to \infty} P \left[ \left\| \mathbf{X}_{n} - \mathbf{X} \right\| \ge \varepsilon \right] \\ \le & \limsup_{n \to \infty} P \left[ \left| X_{nk} - X_{k} \right| \ge \varepsilon \right] \\ \le & \sum_{k=1}^{p} \limsup_{n \to \infty} P \left[ \left| X_{nk} - X_{k} \right| \ge \varepsilon \right] \\ =& 0 \end{align*}$$

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参照

• 単変量確率変数の確率収束