ベクトルの定義
定義
数の並びをベクトルと言う。
説明
通常の教科書では、ベクトルは「大きさと方向を持つ幾何学的なオブジェクト」として学習される。物理学で最初に接する概念だから、$3$次元以下のベクトルに慣れることが避けられない。
$$ (3,4) = \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix} $$ $$ (x,y,z) = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} $$
でも実際には、ベクトルはそれより多くの座標に対して一般化が可能だ。単に数を下に更に並べるだけでいいので、例えば時間$t$を考慮した$4$次元のベクトルは、以下のように示すことができる。
$$ (t,x,y,z) = \begin{bmatrix} t \\ x \\ y \\ z \end{bmatrix} $$
$4$次元以上のベクトルにはどんな意味があるだろうか？例えば、各酸素分子の時間$t$での位置$(x,y,z)$と熱エネルギー$E$を表したいなら、次のように$5$次元に拡張すればいい。
$$ (t,x,y,z,E) = \begin{bmatrix} t \\ x \\ y \\ z \\ E \end{bmatrix} $$
要するに、ベクトルの長さ、つまり次元が高くなることを特に恐れる必要はないということだ。与えられた形式の下での数学の自由な世界では、このような次元の拡張は自然であり、当然のことだ。同じ方法で、$n$次元まで一般化したベクトルを考えることができ、通常ボールド体 $\mathbf{x}$ を使って示される。
$$ \mathbf{x} = \left( x_{1}, \cdots , x_{n} \right) = \begin{bmatrix} x_{1} \\ \vdots \\ x_{n} \end{bmatrix} $$
この簡単な定義から、$n$次元のベクトルは**$n$-組**$n$-tupleと区別されない。物理から離れ、数学に近づくほど、$\vec{x}$のような矢印を使った表現は少なくなり、抽象的で一般的な数学に入ると、「座標」や「並び」などの表現なしに、厳密で正確な定義が行われる。