📂微分積分学

発散判定法

定理

もし級数$\sum\limits_{n = 1}^{\infty} a_{n}$が収束すれば、数列$\{a_{n}\}$は$0$に収束する。 $$ \sum\limits_{n = 1}^{\infty} a_{n} \text{ is convergent } \implies \lim\limits_{n \to \infty} a_{n} = 0 $$

証明

級数の和を$\sum\limits_{n = 1}^{\infty} a_{n} = s$としよう。つまり部分和$s_{n}$に対して$\lim\limits_{n \to \infty} s_{n} = s$である。すると$a_{n} = s_{n} - s_{n-1}$なので、

$$ \lim\limits_{n \to \infty} a_{n} = \lim\limits_{n \to \infty} (s_{n} - s_{n-1}) = \lim\limits_{n \to \infty} s_{n} - \lim\limits_{n \to \infty} s_{n-1} = s - s = 0 $$

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説明

逆は成り立たない。 つまり、数列$\{a_{n}\}$が$0$に収束するからといって、級数$\sum\limits_{n = 1}^{\infty} a_{n}$が収束するわけではない。有名な例として調和級数がある。調和数列$\left\{ \dfrac{1}{n} \right\}$は$0$に収束するが、調和級数は収束しない。

$$ \lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{1}{n} = 0 \quad \text{ but } \quad \sum\limits_{n = 1}^{\infty} \dfrac{1}{n} = \infty $$

対偶を取ると発散判定法^{divergence test}となる。

発散判定法

数列$\{a_{n}\}$が$0$に収束しなければ、級数$\sum\limits_{n = 1}^{\infty} a_{n}$は発散する。