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リーマンゼータ関数のローラン展開の導出

定理

リーマンのゼータ関数$\zeta$のローラン展開は以下の通りです。

$$\zeta (s) = {{ 1 } \over { s-1 }} + \sum_{n=0}^{\infty} \gamma_{n} {{ (1-s)^{n} } \over { n! }} \qquad , s > 1$$

ここで、$\gamma_{n}$は$n$番目のスティルチェス定数^{stieltjes constants}で、以下のように定義されます。

$$\gamma_{n} := \lim_{m \to \infty} \sum_{k=1}^{m} \left( {{ \left( \log k \right)^{n} } \over { k }} - {{ \left( \log m \right)^{n} } \over { n+1 }} \right)$$

説明

特に、スティルチェス定数は$n=0$の時$\gamma_{0} = \gamma$で、オイラー・マスケローニ定数です。

この級数展開によれば、$\zeta (1-s)$の残差(Residue)は$1$です。

導出¹

$$\zeta_{m} (s) := \sum_{k=1}^{m} \left( k^{-s} - {{ m^{1-s} } \over { 1-s }} \right)$$

$\zeta_{m}(s)$を上記のように定義すると、$\displaystyle \zeta (s) = \sum_{k \in \mathbb{N}} k^{-s}$なので、$s>1$の時$m \to \infty$で$\zeta_{m}(s) \to \zeta (s)$です。右側の底と指数をひっくり返して指数関数に関するテイラー展開$\displaystyle { { e ^ x } }=\sum _{ n=0 }^{ \infty }{ \frac { { x } ^{ n } }{ n! } }$を行うと

$$\begin{align*} & \zeta_{m} (s) + 0 \\ =& \sum_{k=1}^{m} \left( k^{-s} - {{ m^{1-s} } \over { 1-s }} \right) + \left( {{ 1 } \over { 1-s }} - {{ 1 } \over { 1-s }} \right) \\ =& {{ 1 } \over { s - 1 }} + \sum_{k=1}^{m} \left[ k^{-s} - {{ m^{1-s} - 1} \over { 1 - s }} \right] \\ =& {{ 1 } \over { s - 1 }} + \sum_{k=1}^{m} \left[ {{ 1 } \over { k }} k^{1-s} - {{ e^{(1-s) \log m} - 1} \over { 1 - s }} \right] \\ =& {{ 1 } \over { s - 1 }} + \sum_{k=1}^{m} \left[ {{ 1 } \over { k }} e^{(1-s) \log k} - {{ 1 + \sum_{n = 0}^{\infty} \left[ (1-s) \log m \right]^{n+1} - 1} \over { 1 - s }} \right] \\ =& {{ 1 } \over { s - 1 }} + \sum_{n = 0}^{\infty} \left[ \sum_{k=1}^{m} \left( {{ 1 } \over { k }} {{ \left[ (1-s) \log k \right]^{n} } \over { n! }} - {{ 1 } \over { 1-s }} {{ \left[ (1-s) \log m \right]^{n+1} } \over { (n+1)! }} \right) \right] \\ =& {{ 1 } \over { s - 1 }} + \sum_{n = 0}^{\infty} \left[ \sum_{k=1}^{m} \left( {{ 1 } \over { k }} {{ (1-s)^{n} \left[ \log k \right]^{n} } \over { n! }} - {{ (1-s)^{n} \left[ \log m \right]^{n+1} } \over { (n+1)! }} \right) \right] \\ =& {{ 1 } \over { s - 1 }} + \sum_{n = 0}^{\infty} {{ (1-s)^{n} } \over { n! }} \left[ \sum_{k=1}^{m} \left( {{ \left[ \log k \right]^{n} } \over { k }} - {{ \left[ \log m \right]^{n+1} } \over { n+1 }} \right) \right] \end{align*}$$

として、きれいに落ちます。今、$s>1$の時$m \to \infty$を取った場合、次を得ます。

$${{ 1 } \over { s - 1 }} + \sum_{n = 0}^{\infty} \gamma_{n} {{ (1-s)^{n} } \over { n! }} = \lim_{m \to \infty} \zeta_{m} (s) = \zeta (s)$$

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