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交代級数の判定法 📂微分積分学

交代級数の判定法

定理1

次の条件を満たす交代級数∑n=1∞(−1)n−1bn\sum\limits_{n = 1}^{\infty} (-1)^{n-1}b_{n}(bn>0)(b_{n} \gt 0)は収束する。

  1. bn+1≤bn∀nb_{n+1} \le b_{n} \quad \forall n。
  2. lim⁡n→∞bn=0\lim\limits_{n \to \infty} b_{n} = 0。

証明

まず、偶数番目の項までの部分和を考えよう。

s2=b1−b2≥0s4=s2+(b3−b4)≥s2s6=s4+(b5−b6)≥s4⋮s2n=s2n−2+(b2n−1−b2n)≥s2n−2 \begin{align*} s_{2} &= b_{1} - b_{2} \ge 0 \\ s_{4} &= s_{2} + (b_{3} - b_{4}) \ge s_{2} \\ s_{6} &= s_{4} + (b_{5} - b_{6}) \ge s_{4} \\ &\quad \vdots \\ s_{2n} &= s_{2n-2} + (b_{2n-1} - b_{2n}) \ge s_{2n-2} \end{align*}

したがって、次のようになる。

0≤s2≤s4≤⋯≤s2n≤⋯ 0 \le s_{2} \le s_{4} \le \cdots \le s_{2n} \le \cdots

一方、s2ns_{2n}は次のように書ける。

s2n=b1−(b2−b3)−(b4−b5)−⋯−(b2n−2−b2n−1)−b2n s_{2n} = b_{1} - (b_{2} - b_{3}) - (b_{4} - b_{5}) - \cdots - (b_{2n-2} - b_{2n-1}) - b_{2n}

かっこの中のすべての項とb2nb_{2n}は正なので、すべてのnnに対してs2n<b1s_{2n} \lt b_{1}が成り立つ。つまり、上に有界である。単調で有界な数列は収束するので、s2ns_{2n}は収束する。

lim⁡n→∞s2n=s \lim\limits_{n \to \infty} s_{2n} = s

次に、奇数番目の項までの部分和を考えてみると、次のようにssに収束することがわかる。

lim⁡n→∞s2n+1=lim⁡n→∞s2n+b2n+1=lim⁡n→∞s2n+lim⁡n→∞b2n+1=s+0=s \begin{align*} \lim\limits_{n \to \infty} s_{2n + 1} &= \lim\limits_{n \to \infty} s_{2n} + b_{2n + 1} \\ &= \lim\limits_{n \to \infty} s_{2n} + \lim\limits_{n \to \infty} b_{2n + 1} \\ &= s + 0 \\ &= s \end{align*}

補助定理

lim⁡n→∞a2n=L\lim\limits_{n \to \infty} a_{2n} = Lで、lim⁡n→∞a2n+1=L\lim\limits_{n \to \infty} a_{2n+1} = Lならlim⁡n→∞an=L\lim\limits_{n \to \infty} a_{n} = Lである。

上の補助定理により、∑n=1∞sn=s\sum\limits_{n = 1}^{\infty} s_{n} = sである。つまり、級数∑n=1∞(−1)n−1bn\sum\limits_{n = 1}^{\infty} (-1)^{n-1}b_{n}は収束する。

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  1. James Stewart, Daniel Clegg, and Saleem Watson, Calculus (early transcendentals, 9E), p766-769 ↩︎