📂微分積分学

交代級数判定法

定理¹

次の条件を満たす交代級数$\sum\limits_{n = 1}^{\infty} (-1)^{n-1}b_{n}$$(b_{n} \gt 0)$は収束する。

1. $b_{n+1} \le b_{n} \quad \forall n$。
2. $\lim\limits_{n \to \infty} b_{n} = 0$。

証明

まず、偶数番目の項までの部分和を考えよう。

$$ \begin{align*} s_{2} &= b_{1} - b_{2} \ge 0 \\ s_{4} &= s_{2} + (b_{3} - b_{4}) \ge s_{2} \\ s_{6} &= s_{4} + (b_{5} - b_{6}) \ge s_{4} \\ &\quad \vdots \\ s_{2n} &= s_{2n-2} + (b_{2n-1} - b_{2n}) \ge s_{2n-2} \end{align*} $$

したがって、次のようになる。

$$ 0 \le s_{2} \le s_{4} \le \cdots \le s_{2n} \le \cdots $$

一方、$s_{2n}$は次のように書ける。

$$ s_{2n} = b_{1} - (b_{2} - b_{3}) - (b_{4} - b_{5}) - \cdots - (b_{2n-2} - b_{2n-1}) - b_{2n} $$

かっこの中のすべての項と$b_{2n}$は正なので、すべての$n$に対して$s_{2n} \lt b_{1}$が成り立つ。つまり、上に有界である。単調で有界な数列は収束するので、$s_{2n}$は収束する。

$$ \lim\limits_{n \to \infty} s_{2n} = s $$

次に、奇数番目の項までの部分和を考えてみると、次のように$s$に収束することがわかる。

$$ \begin{align*} \lim\limits_{n \to \infty} s_{2n + 1} &= \lim\limits_{n \to \infty} s_{2n} + b_{2n + 1} \\ &= \lim\limits_{n \to \infty} s_{2n} + \lim\limits_{n \to \infty} b_{2n + 1} \\ &= s + 0 \\ &= s \end{align*} $$

補助定理

$\lim\limits_{n \to \infty} a_{2n} = L$で、$\lim\limits_{n \to \infty} a_{2n+1} = L$なら$\lim\limits_{n \to \infty} a_{n} = L$である。

上の補助定理により、$\sum\limits_{n = 1}^{\infty} s_{n} = s$である。つまり、級数$\sum\limits_{n = 1}^{\infty} (-1)^{n-1}b_{n}$は収束する。

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