📂微分積分学

交代級数

定義

級数で各項の符号が交互に現れる級数を交代級数^{alternating series}と言う。つまり、$b_{n} \gt 0$に対して、一般項が次のような形で表される級数を指す。

$$a_{n} = (-1)^{n-1}b_{n} \qquad \text{ or } \qquad a_{n} = (-1)^{n}b_{n}$$

説明

交代級数の収束性を判定する方法として交代級数判定法がある。

交代級数判定法

次の条件を満たす交代級数 $\sum\limits_{n = 1}^{\infty} (-1)^{n-1}b_{n}$ $(b_{n} \gt 0)$は収束する。

1. $b_{n+1} \le b_{n} \quad \forall n$。
2. $\lim\limits_{n \to \infty} b_{n} = 0$。

例

交代調和級数

交代調和級数は収束する。

$$\sum\limits_{n = 1}^{\infty} (-1)^{n-1}\dfrac{1}{n} = \ln 2$$