📂行列代数

대각합

定義

$n\times n$ 行列 $A$が次のように与えられたとする。

$$A= \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix}$$

$A$の対角成分の和を$A$のトレース^traceと定義し、次のように表記する。

$$\text{tr}(A)=\text{Tr}(A)=a_{11}+a_{22}+\cdots + a_{nn}=\sum \limits_{i=1}^{n} a_{ii}$$

説明

次のようにトレースを関数と考えることもできる。 $M_{n\times n}(\mathbb{R})$を実数を成分とする$n\times n$行列の集合とする。このとき、$\text{Tr}$は次のように定義される関数である。

$$\text{Tr} : M_{n\times n} (\mathbb{R}) \to \mathbb{R},\quad \text{Tr}(A)=\sum \limits_{i=1}^{n} a_{ii}$$

トレースが関数ならば微分できないこともない。

性質

$A,B,C$が$n \times n$行列、$k$が定数とする。

(a) 定数倍のトレースとトレースの定数倍は同じである。

$$\text{Tr}(kA)= k\text{Tr}(A)$$

(b) 和のトレースとトレースの和は同じである。

$$\text{Tr}(A+B)=\text{Tr}(A)+\text{Tr}(B)$$

(a)+(b) トレースは線形である。

$$\text{Tr}(kA+B)=k\text{Tr}(A)+\text{Tr}(B)$$

(c) $AB$と$BA$のトレースは同じである。

$$\text{Tr}(AB) = \text{Tr}(BA)$$

• (c') 循環性質^{Cyclic Property}: 上の事実から次の式が成立することが分かる。

$$\text{Tr}(ABC) = \text{Tr}(BCA) = \text{Tr}(CAB)$$

• (c") 実は任意の$A \in \mathbb{R}^{n \times k}$と$B \in \mathbb{R}^{k \times n}$についても成り立つ。

(d) $A$と$A^{T}$のトレースは同じである。

$$\text{Tr}(A) = \text{Tr}(A^{T})$$

証明