トレース

定義

$n\times n$ 行列が以下のように与えられたとする。

$$ A= \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix} $$

$A$の対角要素の合計を$A$の対角合計^traceと定義し、以下のように表記する。

$$ \text{tr}(A)=\text{Tr}(A)=a_{11}+a_{22}+\cdots + a_{nn}=\sum \limits_{i=1}^{n} a_{ii} $$

説明

次のように対角合計を関数として考えることもできる。$M_{n\times n}(\mathbb{R})$を実数を成分とする$n\times n$行列の集合とする。すると$\text{Tr}$は次のように定義される関数である。

$$ \text{Tr} : M_{n\times n} (\mathbb{R}) \to \mathbb{R},\quad \text{Tr}(A)=\sum \limits_{i=1}^{n} a_{ii} $$

性質

$A,B,C$が$n \times n$行列で、$k$が定数とする。

(a) スカラー倍のトレースとトレースのスカラー倍が同じである。

$$ \text{Tr}(kA)= k\text{Tr}(A) $$

(b) 合計のトレースとトレースの合計が同じである。

$$ \text{Tr}(A+B)=\text{Tr}(A)+\text{Tr}(B) $$

(a)+(b) トレースは線形である。

$$ \text{Tr}(kA+B)=k\text{Tr}(A)+\text{Tr}(B) $$

(c) $AB$と$BA$のトレースが同じである。

$$ \text{Tr}(AB) = \text{Tr}(BA) $$

(c’) 循環性^{Cyclic Property}: 上記の事実から、次の式が成り立つことがわかる。

$$ \text{Tr}(ABC) = \text{Tr}(BCA) = \text{Tr}(CAB) $$

(d) $A$と$A^{T}$のトレースが同じである。

$$ \text{Tr}(A) = \text{Tr}(A^{T}) $$