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随伴作用素の性質 📂ヒルベルト空間

随伴作用素の性質

定理1

H,KH,Kをヒルベルト空間としよう。有界線形作用素T:K→HT : K \to Hに対して、次を満たすT∗:H→KT^{\ast} : H \to KをTTの随伴作用素と呼ぶ。

⟨Tv,w⟩H=⟨v,T∗w⟩K,∀v∈K \left\langle T \textbf{v} , \textbf{w} \right\rangle_{H} = \left\langle \textbf{v} , T^{\ast} \textbf{w} \right\rangle_{K},\quad \forall \textbf{v} \in K このとき、随伴作用素は次の性質を持つ。

(a) T∗T^{\ast}は線形であり、有界である。

(b) (T∗)∗=T\left( T^{\ast} \right)^{\ast} = T

(c) ∥T∗∥=∥T∥\left\| T^{\ast} \right\| = \left\| T \right\|

証明

(a)

  • Part 1. T∗T^{\ast}は線形である

    定義により

    T∗(αw+βu)=αT∗(w)+βT∗(u) T^{\ast}( \alpha \mathbf{w}+\beta \mathbf{u} )=\alpha T^{\ast}(\mathbf{w})+\beta T^{\ast}(\mathbf{u})

    を示せばよい。T∗T^{\ast}と内積の定義により、v∈K\mathbf{v}\in Kに対して次が成立する。

    ⟨v,T∗(αw+βu)⟩K= ⟨Tv,αw+βu⟩H= α‾⟨Tv,w⟩H+β‾⟨Tv,u⟩H= α‾⟨v,T∗w⟩K+β‾⟨v,T∗u⟩K= ⟨v,αT∗w+βT∗u⟩K \begin{align*} \left\langle \mathbf{v}, T^{\ast}(\alpha \mathbf{w}+ \beta \mathbf{u}) \right\rangle_{K} =&\ \left\langle T\mathbf{v},\alpha \mathbf{w} + \beta \mathbf{u} \right\rangle_{H} \\ =&\ \overline{\alpha}\left\langle T\mathbf{v},\mathbf{w} \right\rangle_{H} +\overline{\beta} \left\langle T\mathbf{v}, \mathbf{u} \right\rangle_{H} \\ =&\ \overline{\alpha}\left\langle \mathbf{v}, T^{\ast}\mathbf{w} \right\rangle_{K} +\overline{\beta} \left\langle \mathbf{v}, T^{\ast} \mathbf{u} \right\rangle_{K} \\ =&\ \left\langle \mathbf{v}, \alpha T^{\ast} \mathbf{w}+\beta T^{\ast} \mathbf{u} \right\rangle_{K} \end{align*}

    全てのv\mathbf{v}に対して⟨v,u⟩=⟨v,w⟩\left\langle \mathbf{v},\mathbf{u} \right\rangle=\left\langle \mathbf{v},\mathbf{w}\right\rangle ならばu=w\mathbf{u}=\mathbf{w}が成り立つので、

    T∗(αw+βu)=αT∗(w)+βT∗(u) T^{\ast}( \alpha \mathbf{w}+\beta \mathbf{u} )=\alpha T^{\ast}(\mathbf{w})+\beta T^{\ast}(\mathbf{u})

  • Part 2. T∗T^{\ast}は有界である

    定義により

    ∥T∗w∥≤C∥w∥,∀w∈H \left\| T^{\ast}\mathbf{w} \right\| \le C \left\| \mathbf{w} \right\|,\quad \forall \mathbf{w}\in H

    を満たす定数CCが存在するかを示せばよい。内積とノルムの関係により次が成立する。

    ∥T∗w∥=sup⁡v∈K∥v∥=1∣⟨v,T∗w⟩K∣ \left\| T^{\ast}\mathbf{w} \right\| = \sup \limits_{\substack{\mathbf{v}\in K \\ \left\| \mathbf{v} \right\|=1 }} \left| \left\langle \mathbf{v},T^{\ast}\mathbf{w} \right\rangle_{K} \right|

    そのため、T∗T^{\ast}の定義とコーシー・シュワルツの不等式により次が成立する。

    ∥T∗w∥= sup⁡v∈K∥v∥=1∣⟨v,T∗w⟩K∣= sup⁡v∈K∥v∥=1∣⟨Tv,w⟩H∣≤sup⁡v∈K∥v∥=1∥Tv∥∥w∥ \begin{align*} \left\| T^{\ast}\mathbf{w} \right\| =&\ \sup \limits_{\substack{\mathbf{v}\in K \\ \left\| \mathbf{v} \right\|=1 }} \left| \left\langle \mathbf{v},T^{\ast}\mathbf{w} \right\rangle_{K} \right| \\ =&\ \sup \limits_{\substack{\mathbf{v}\in K \\ \left\| \mathbf{v} \right\|=1 }} \left| \left\langle T\mathbf{v},\mathbf{w} \right\rangle_{H} \right| \\ \le& \sup \limits_{\substack{\mathbf{v}\in K \\ \left\| \mathbf{v} \right\|=1 }} \left\| T\mathbf{v} \right\| \left\| \mathbf{w} \right\| \end{align*}

    ここでTTは有界であるため、∥Tv∥≤∥T∥∥v∥\left\| T\mathbf{v} \right\|\le \left\| T \right\| \left\| \mathbf{v} \right\|が成立する。従って、

    ∥T∗w∥≤sup⁡v∈K∥v∥=1∥Tv∥∥w∥≤sup⁡v∈K∥v∥=1∥T∥∥v∥∥w∥≤∥T∥∥w∥ \begin{align*} \left\| T^{\ast}\mathbf{w} \right\| \le& \sup \limits_{\substack{\mathbf{v}\in K \\ \left\| \mathbf{v} \right\|=1 }} \left\| T\mathbf{v} \right\| \left\| \mathbf{w} \right\| \\ \le& \sup \limits_{\substack{\mathbf{v}\in K \\ \left\| \mathbf{v} \right\|=1 }} \left\| T \right\| \left\| \mathbf{v} \right\| \left\| \mathbf{w} \right\| \\ \le& \left\| T \right\| \left\| \mathbf{w} \right\| \end{align*}

    であるから、T∗T^{\ast}は有界である。

■

(b)

T∗T^{\ast}と内積の定義により単純に示すことができる。

⟨Tv,w⟩H= ⟨v,T∗w⟩K= ⟨T∗w,v⟩K‾= ⟨w,(T∗)∗v⟩K‾= ⟨(T∗)∗v,w⟩K \begin{align*} \left\langle T\mathbf{v},\mathbf{w} \right\rangle_{H} =&\ \left\langle \mathbf{v},T^{\ast}\mathbf{w} \right\rangle_{K} \\ =&\ \overline{\left\langle T^{\ast}\mathbf{w},\mathbf{v} \right\rangle_{K}} \\ =&\ \overline{\left\langle \mathbf{w},(T^{\ast})^{\ast}\mathbf{v} \right\rangle_{K}} \\ =&\ \left\langle (T^{\ast})^{\ast}\mathbf{v},\mathbf{w} \right\rangle_{K} \end{align*}

これは全てのw\mathbf{w}に対して成立するので、**Part 1.**の論理と同様である。

Tv=(T∗)∗v  ⟹  T=(T∗)∗ T\mathbf{v}=(T^{\ast})^{\ast}\mathbf{v}\implies T=(T^{\ast})^{\ast}

■

(c)

**(a)**の証明から∥T∗∥≤∥T∥\left\| T^{\ast} \right\| \le \left\| T \right\|を得た。同様の方法で反対方向の不等式を得ることができる。

∥Tv∥= sup⁡w∈H∥w∥=1∣⟨Tv,w⟩H∣= sup⁡w∈H∥w∥=1∣⟨v,T∗w⟩K∣≤sup⁡w∈H∥w∥=1∥v∥∥T∗w∥≤sup⁡w∈H∥w∥=1∥v∥∥T∗∥∥w∥≤∥T∗∥∥v∥ \begin{align*} \left\| T\mathbf{v} \right\| =&\ \sup \limits_{\substack{\mathbf{w}\in H \\ \left\| \mathbf{w} \right\|=1 }} \left| \left\langle T\mathbf{v},\mathbf{w} \right\rangle_{H} \right| \\ =&\ \sup \limits_{\substack{\mathbf{w}\in H \\ \left\| \mathbf{w} \right\|=1 }} \left| \left\langle \mathbf{v},T^{\ast}\mathbf{w} \right\rangle_{K} \right| \\ \le& \sup \limits_{\substack{\mathbf{w}\in H \\ \left\| \mathbf{w} \right\|=1 }} \left\| \mathbf{v} \right\| \left\| T^{\ast}\mathbf{w} \right\| \\ \le& \sup \limits_{\substack{\mathbf{w}\in H \\ \left\| \mathbf{w} \right\|=1 }} \left\| \mathbf{v} \right\| \left\| T^{\ast} \right\| \left\| \mathbf{w} \right\| \\ \le& \left\| T^{\ast} \right\| \left\| \mathbf{v} \right\| \end{align*}

従って、∥T∥≤∥T∗∥\left\| T^{} \right\|\le \left\| T^{\ast} \right\|が成立するので、

∥T∥=∥T∗∥ \left\| T \right\| = \left\| T^{\ast} \right\|

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  1. Ole Christensen, Functions, Spaces, and Expansions: Mathematical Tools in Physics and Engineering (2010), p72 ↩︎