📂ヒルベルト空間

随伴作用素の性質

定理¹

$H,K$をヒルベルト空間としよう。有界線形作用素$T : K \to H$に対して、次を満たす$T^{\ast} : H \to K$を$T$の随伴作用素と呼ぶ。

$$ \left\langle T \textbf{v} , \textbf{w} \right\rangle_{H} = \left\langle \textbf{v} , T^{\ast} \textbf{w} \right\rangle_{K},\quad \forall \textbf{v} \in K $$ このとき、随伴作用素は次の性質を持つ。

(a) $T^{\ast}$は線形であり、有界である。

(b) $\left( T^{\ast} \right)^{\ast} = T$

(c) $\left\| T^{\ast} \right\| = \left\| T \right\| $

証明

(a)

• Part 1. $T^{\ast}$は線形である

  定義により

  $$ T^{\ast}( \alpha \mathbf{w}+\beta \mathbf{u} )=\alpha T^{\ast}(\mathbf{w})+\beta T^{\ast}(\mathbf{u}) $$

  を示せばよい。$T^{\ast}$と内積の定義により、$\mathbf{v}\in K$に対して次が成立する。

  $$ \begin{align*} \left\langle \mathbf{v}, T^{\ast}(\alpha \mathbf{w}+ \beta \mathbf{u}) \right\rangle_{K} =&\ \left\langle T\mathbf{v},\alpha \mathbf{w} + \beta \mathbf{u} \right\rangle_{H} \\ =&\ \overline{\alpha}\left\langle T\mathbf{v},\mathbf{w} \right\rangle_{H} +\overline{\beta} \left\langle T\mathbf{v}, \mathbf{u} \right\rangle_{H} \\ =&\ \overline{\alpha}\left\langle \mathbf{v}, T^{\ast}\mathbf{w} \right\rangle_{K} +\overline{\beta} \left\langle \mathbf{v}, T^{\ast} \mathbf{u} \right\rangle_{K} \\ =&\ \left\langle \mathbf{v}, \alpha T^{\ast} \mathbf{w}+\beta T^{\ast} \mathbf{u} \right\rangle_{K} \end{align*} $$

  全ての$\mathbf{v}$に対して$\left\langle \mathbf{v},\mathbf{u} \right\rangle=\left\langle \mathbf{v},\mathbf{w}\right\rangle $ならば$\mathbf{u}=\mathbf{w}$が成り立つので、

  $$ T^{\ast}( \alpha \mathbf{w}+\beta \mathbf{u} )=\alpha T^{\ast}(\mathbf{w})+\beta T^{\ast}(\mathbf{u}) $$

• Part 2. $T^{\ast}$は有界である

  定義により

  $$ \left\| T^{\ast}\mathbf{w} \right\| \le C \left\| \mathbf{w} \right\|,\quad \forall \mathbf{w}\in H $$

  を満たす定数$C$が存在するかを示せばよい。内積とノルムの関係により次が成立する。

  $$ \left\| T^{\ast}\mathbf{w} \right\| = \sup \limits_{\substack{\mathbf{v}\in K \\ \left\| \mathbf{v} \right\|=1 }} \left| \left\langle \mathbf{v},T^{\ast}\mathbf{w} \right\rangle_{K} \right| $$

  そのため、$T^{\ast}$の定義とコーシー・シュワルツの不等式により次が成立する。

  $$ \begin{align*} \left\| T^{\ast}\mathbf{w} \right\| =&\ \sup \limits_{\substack{\mathbf{v}\in K \\ \left\| \mathbf{v} \right\|=1 }} \left| \left\langle \mathbf{v},T^{\ast}\mathbf{w} \right\rangle_{K} \right| \\ =&\ \sup \limits_{\substack{\mathbf{v}\in K \\ \left\| \mathbf{v} \right\|=1 }} \left| \left\langle T\mathbf{v},\mathbf{w} \right\rangle_{H} \right| \\ \le& \sup \limits_{\substack{\mathbf{v}\in K \\ \left\| \mathbf{v} \right\|=1 }} \left\| T\mathbf{v} \right\| \left\| \mathbf{w} \right\| \end{align*} $$

  ここで$T$は有界であるため、$\left\| T\mathbf{v} \right\|\le \left\| T \right\| \left\| \mathbf{v} \right\|$が成立する。従って、

  $$ \begin{align*} \left\| T^{\ast}\mathbf{w} \right\| \le& \sup \limits_{\substack{\mathbf{v}\in K \\ \left\| \mathbf{v} \right\|=1 }} \left\| T\mathbf{v} \right\| \left\| \mathbf{w} \right\| \\ \le& \sup \limits_{\substack{\mathbf{v}\in K \\ \left\| \mathbf{v} \right\|=1 }} \left\| T \right\| \left\| \mathbf{v} \right\| \left\| \mathbf{w} \right\| \\ \le& \left\| T \right\| \left\| \mathbf{w} \right\| \end{align*} $$

  であるから、$T^{\ast}$は有界である。

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(b)

$T^{\ast}$と内積の定義により単純に示すことができる。

$$ \begin{align*} \left\langle T\mathbf{v},\mathbf{w} \right\rangle_{H} =&\ \left\langle \mathbf{v},T^{\ast}\mathbf{w} \right\rangle_{K} \\ =&\ \overline{\left\langle T^{\ast}\mathbf{w},\mathbf{v} \right\rangle_{K}} \\ =&\ \overline{\left\langle \mathbf{w},(T^{\ast})^{\ast}\mathbf{v} \right\rangle_{K}} \\ =&\ \left\langle (T^{\ast})^{\ast}\mathbf{v},\mathbf{w} \right\rangle_{K} \end{align*} $$

これは全ての$\mathbf{w}$に対して成立するので、**Part 1.**の論理と同様である。

$$ T\mathbf{v}=(T^{\ast})^{\ast}\mathbf{v}\implies T=(T^{\ast})^{\ast} $$

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(c)

**(a)**の証明から$\left\| T^{\ast} \right\| \le \left\| T \right\|$を得た。同様の方法で反対方向の不等式を得ることができる。

$$ \begin{align*} \left\| T\mathbf{v} \right\| =&\ \sup \limits_{\substack{\mathbf{w}\in H \\ \left\| \mathbf{w} \right\|=1 }} \left| \left\langle T\mathbf{v},\mathbf{w} \right\rangle_{H} \right| \\ =&\ \sup \limits_{\substack{\mathbf{w}\in H \\ \left\| \mathbf{w} \right\|=1 }} \left| \left\langle \mathbf{v},T^{\ast}\mathbf{w} \right\rangle_{K} \right| \\ \le& \sup \limits_{\substack{\mathbf{w}\in H \\ \left\| \mathbf{w} \right\|=1 }} \left\| \mathbf{v} \right\| \left\| T^{\ast}\mathbf{w} \right\| \\ \le& \sup \limits_{\substack{\mathbf{w}\in H \\ \left\| \mathbf{w} \right\|=1 }} \left\| \mathbf{v} \right\| \left\| T^{\ast} \right\| \left\| \mathbf{w} \right\| \\ \le& \left\| T^{\ast} \right\| \left\| \mathbf{v} \right\| \end{align*} $$

従って、$\left\| T^{} \right\|\le \left\| T^{\ast} \right\|$が成立するので、

$$ \left\| T \right\| = \left\| T^{\ast} \right\| $$

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