内積空間における0の性質

定理

$\left( X, \left\langle \cdot,\cdot \right\rangle \right)$を内積空間と呼ぼう。

(a) すべての$\mathbf{x}\in X$に対して、以下が成立する。

$$ \left\langle \mathbf{0},\mathbf{x} \right\rangle = 0 $$

(b) すべての$\mathbf{x}\in X$に対して、次の式を満たす$X$の要素は$\mathbf{0}$だけである。

$$ \forall \mathbf{x}\in X,\ \left\langle \mathbf{x},\mathbf{y} \right\rangle = 0 \implies \mathbf{y}=\mathbf{0} $$

(c) $\mathbf{y}, \mathbf{\mathbf{z}} \in X$とし、そして

$$ \begin{equation} \left\langle \mathbf{x},\mathbf{y} \right\rangle =\left\langle \mathbf{x}, \mathbf{z} \right\rangle, \quad \forall \mathbf{x}\in X \end{equation} $$

と仮定する。そうすると、以下が成立する。

$$ \mathbf{y}=\mathbf{z} $$

説明

太字の$\mathbf{0}$は、ベクトル空間 $X$の加算における単位元としてのゼロベクトルを意味する。$0$は定数$0$を意味する。

証明

(a)

内積の定義により、

$$ \begin{align*} \left\langle \mathbf{0},\mathbf{x} \right\rangle =&\ \left\langle \mathbf{x}-\mathbf{x},\mathbf{x} \right\rangle \\ =&\ \left\langle \mathbf{x},\mathbf{x} \right\rangle -\left\langle \mathbf{x},\mathbf{x} \right\rangle \\ =&\ 0 \end{align*} $$

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(b)

$\mathbf{0}$ではない要素$\mathbf{y} \in X$に対して**(a)**が成立すると仮定する。そうすると、$\mathbf{y}$は$X$のすべての要素との内積が$0$でなければならず、自分自身との内積も$0$である。

$$ \left\langle \mathbf{y},\mathbf{y} \right\rangle = 0 $$

しかし、これは内積の定義に反するので、**(a)**を満たす要素は$\mathbf{0}$だけである。

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(c)

$(3)$を仮定する。そうすると

$$ \left\langle \mathbf{x},\mathbf{y}-\mathbf{z} \right\rangle = 0 \quad \forall \mathbf{x}\in X $$

そして**(b)**によって

$$ \begin{align*} && \mathbf{y}-\mathbf{z} =&\ \mathbf{0} \\ \implies && \mathbf{y} =&\ \mathbf{z} \end{align*} $$

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