📂ヒルベルト空間

内積は連続写像であることを証明

定理¹

$\left( X, \left\langle \cdot,\cdot \right\rangle \right)$が内積空間で、$\left\{ \mathbf{x}_{n} \right\}$、$\left\{ \mathbf{y}_{n} \right\}$がそれぞれ$\mathbf{x}$、 $\mathbf{y}$に収束する$X$の数列だとしよう。すると、次が成立する。

$$ \left\langle \mathbf{x}_{n},\mathbf{y}_{n} \right\rangle \to \left\langle \mathbf{x},\mathbf{y} \right\rangle \text{ as } n \to \infty $$

極限が内積の内外を移動できるため、次の系を得る。

系

$H$をヒルベルト空間、$\left\{ \mathbf{x}_{k} \right\}_{k\in \N}$を$H$の数列、$\left\{ c_{k} \right\}_{k\in\mathbb{N}} \in \ell^{2} (\mathbb{N})$であり、$\sum \limits_{k=1}^{\infty}c_{k}\mathbf{x}_{k}$が収束するとする。すると、次の式が成立する。

$$ \begin{align*} \left\langle \mathbf{x},\sum \limits_{k=1}^{\infty}c_{k}\mathbf{x}_{k} \right\rangle =&\ \sum \limits_{k=1}^{\infty}\overline{c_{k}}\left\langle \mathbf{x}, \mathbf{x}_{k} \right\rangle \\ \left\langle \sum \limits_{k=1}^{\infty}c_{k}\mathbf{x}_{k}, \mathbf{x} \right\rangle =&\ \sum \limits_{k=1}^{\infty}c_{k}\left\langle \mathbf{x}_{k}, \mathbf{x} \right\rangle \end{align*} $$

説明

$$ \lim \limits_{n\to \infty} \left\langle \mathbf{x}_{n}, \mathbf{y}_{n} \right\rangle = \left\langle \lim \limits_{n\to \infty} \mathbf{x}_{n}, \lim \limits_{n\to \infty} \mathbf{y}_{n} \right\rangle = \left\langle \mathbf{x},\mathbf{y} \right\rangle $$

この式が成立することから、内積は連続写像であると連続の同値条件によって示される。非常に便利な性質であることは言うまでもない。

証明

内積の定義とコーシー・シュワルツの不等式を用いて簡単に示せる。

$$ \begin{align*} \left| \left\langle \mathbf{x}_{n},\mathbf{y}_{n} \right\rangle -\left\langle \mathbf{x},\mathbf{y} \right\rangle \right| =&\ \left| \left\langle \mathbf{x}_{n},\mathbf{y}_{n} \right\rangle -\left\langle \mathbf{x},\mathbf{y}_{n} \right\rangle + \left\langle ,\mathbf{y}_{n} \right\rangle -\left\langle \mathbf{x},\mathbf{y} \right\rangle \right| \\ \le& \left| \left\langle \mathbf{x}_{n},\mathbf{y}_{n} \right\rangle -\left\langle \mathbf{x},\mathbf{y}_{n} \right\rangle \right| +\left| \left\langle \mathbf{x},\mathbf{y}_{n} \right\rangle -\left\langle \mathbf{x},\mathbf{y} \right\rangle \right| \\ =&\ \left| \left\langle \mathbf{x}_{n}-\mathbf{x},\mathbf{y}_{n} \right\rangle \right| +\left| \left\langle \mathbf{x},\mathbf{y}_{n}-\mathbf{y}\right\rangle \right| \end{align*} $$

右辺にコーシー・シュワルツの不等式を適用すると、次のようになる。

$$ \left| \left\langle \mathbf{x}_{n},\mathbf{y}_{n} \right\rangle -\left\langle \mathbf{x},\mathbf{y} \right\rangle \right| \le \left\| \mathbf{x}_{n}-\mathbf{x} \right\| \left\| \mathbf{y}_{n} \right\| + \left\| \mathbf{x} \right\| \left\| \mathbf{y}_{n}-\mathbf{y} \right\| $$

この時、ノルムは連続写像であるため、$\lim \limits_{n\to \infty} \left\| \mathbf{x}_{n}-\mathbf{x} \right\| =0$であり、$\mathbf{y}_{n}$についても同様である。したがって、式の両辺に極限を取ると

$$ \begin{align*} && \lim \limits_{n\to \infty} \left| \left\langle \mathbf{x}_{n},\mathbf{y}_{n} \right\rangle -\left\langle \mathbf{x},\mathbf{y} \right\rangle \right| \le& 0 \\ \implies && \lim \limits_{n\to \infty} \left\langle \mathbf{x}_{n}, \mathbf{y}_{n} \right\rangle =&\ \left\langle \mathbf{x},\mathbf{y} \right\rangle \end{align*} $$

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