内積空間における直交性、直交集合、正規直交集合
定義1
$\left( X, \left\langle \cdot, \cdot \right\rangle \right)$を内積空間としよう。二つの元 $\mathbf{x}, \mathbf{y}\in X$が$\left\langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \right\rangle =0$を満たすなら、$\mathbf{y}$と$\mathbf{x}$は互いに直交すると言い、以下のように表記する。
$$ \mathbf{x} \perp \mathbf{y} $$
元の集合$X$、$\left\{ \mathbf{x}_{k} \right\}_{k\in \mathbb{N}}$が次の式を満たすなら、直交システムあるいは直交集合と呼ぶ。
$$ \left\langle \mathbf{x}_{k}, \mathbf{x}_{\ell} \right\rangle =0\quad \forall k\ne \ell $$
直交システム$\left\{ \mathbf{x}_{k} \right\}_{k\in \mathbb{N}}$が次の式を満たす場合、正規直交システムあるいは正規直交集合と呼ぶ。
$$ \left\| \mathbf{x}_{k} \right\| =1\quad \forall k\in \mathbb{N} $$
説明
内積空間で、ノルムは$\left\| \cdot \right\|:=\sqrt{\left\langle \cdot,\cdot \right\rangle }$として定義されるので、正規直交システムの定義を再記すれば以下のようになる。
$$ \left\| \mathbf{x}_{k} \right\| = \left\langle \mathbf{x}_{k},\mathbf{x}_{\ell} \right\rangle = \begin{cases} 1 & \text{if}\ k=\ell \\ 0 & \text{if}\ k\ne \ell \end{cases} $$
また、直交システムが可算集合に対して定義される必要は特にない。
定義2
$A$を任意のインデックス集合、$\alpha$、$\beta$を$A$のインデックスとしよう。元の集合$X$、$\left\{ \mathbf{x}_{\alpha} \right\}_{\alpha \in A}$が次の式を満たすなら、直交システムあるいは直交集合と呼ぶ。
$$ \left\langle \mathbf{x}_{\alpha}, \mathbf{x}_{\beta} \right\rangle =0\quad \forall \alpha \ne \beta $$
直交システム$\left\{ \mathbf{x}_{\alpha} \right\}_{\alpha \in A}$が次の式を満たす場合、正規直交システムあるいは正規直交集合と呼ぶ。
$$ \left\| \mathbf{x}_{\alpha} \right\| =1\quad \forall \alpha \in A $$
説明
従って、正規直交システム$\left\{ \mathbf{x}_{\alpha} \right\}_{\alpha \in A}$に対して、以下の式を得る。
$$ \left\langle \mathbf{x}_{\alpha},\mathbf{x}_{\beta} \right\rangle =\begin{cases} 1 & \text{if}\ \alpha=\beta \\ 0 & \text{if}\ \alpha \ne \beta \end{cases} $$