📂フーリエ解析

B-スプライン スケーリング 方程式

式¹

(a) B-スプラインのスケーリング方程式:

オーダーが$m\in N$のB-スプラインについて、次の式が成り立つ。

$$ \widehat{N_{m}}(2\gamma)=H_{0}(\gamma)\widehat{N_{m}}(\gamma),\quad \forall \gamma \in \mathbb{R} $$

この時、$H_{0}$は周期が$1$の関数であり、次のようになる。

$$ H_{0}(\gamma)=\left( \frac{1+e^{-2\pi i \gamma}}{2} \right)^{m} $$

また、$f$のフーリエ変換$\widehat{f}$の定義は、次のようになる。

$$ \widehat{f}(\gamma):=\int _{-\infty} ^{\infty} f(x)e^{-2\pi i x \gamma}dx $$

(b) 中心B-スプラインのスケーリング方程式:

同様に、オーダーが$m$の中心B-スプラインについて、次の式が成り立つ。

$$ \widehat{B_{m}}(2\gamma) = H_{0}(\gamma)\widehat{B_{m}}(\gamma),\quad \forall \gamma \in \mathbb{R} $$

この時、再び$H_{0}$は周期が$2$の関数で、次のようになる。

$$ H_{0}(\gamma)=\left( \frac{e^{\pi i \gamma}+e^{-\pi i \gamma}}{2} \right)^{m}=\cos^{m}(\pi \gamma) $$

証明

(a)

B-スプラインのフーリエ変換は、次のようになる。

$$ \widehat{N_{m}}(\gamma)=\left( \frac{1-e^{-2\pi i\gamma}}{2\pi i \gamma} \right)^{m} $$

したがって、

$$ \begin{align*} \widehat{N_{m}}(2\gamma) =&\ \left( \frac{1-e^{-2\pi i2\gamma}}{2\pi i 2\gamma} \right)^{m} \\ =&\ \frac{(1+e^{-2\pi i \gamma})^{m}(1-e^{-2\pi i \gamma})^{m}}{2^{m}(2\pi i \gamma)^{m}} \\ =&\ \left( \frac{1+e^{-2\pi i \gamma}}{2} \right)^{m} \left( \frac{1-e^{-2\pi i \gamma}}{2\pi i \gamma} \right)^{m} \\ =&\ H_{0}(\gamma) \widehat{N_{m}}(\gamma) \end{align*} $$

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(b)

中心B-スプラインのフーリエ変換は、次のようになる。

$$ \widehat{B_{m}}(\gamma)=\left( \frac{e^{\pi i \gamma}-e^{-\pi i \gamma}}{2\pi i \gamma} \right)^{m}=\left( \frac{\sin (\pi\gamma)}{\pi \gamma} \right)^{m} $$

したがって、

$$ \begin{align*} \widehat{B_{m}}(2\gamma) =&\ \left( \frac{e^{\pi i 2\gamma} - e^{-\pi i 2\gamma}}{2\pi i 2\gamma} \right)^{m} \\ =&\ \frac{(e^{\pi i \gamma}+e^{-\pi i \gamma})^{m}(e^{\pi i \gamma}-e^{-\pi i \gamma})^{m} }{2^{m}(2\pi i \gamma)^{m}} \\ =&\ \left( \frac{e^{\pi i \gamma}+e^{-\pi i \gamma}}{2} \right)^{m} \left( \frac{e^{\pi i \gamma}-e^{-\pi i \gamma} }{2\pi i \gamma} \right)^{m} \\ =&\ H_{0}(\gamma)\widehat{B_{m}}(\gamma) \end{align*} $$

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