B-スプラインの明示的な公式
公式1
関数$f: \mathbb{R}\to \mathbb{R}$に対して
$$ f(x)_{+}:=\max \left( 0,f(x) \right) $$
としよう。つまり、$f_{+}$は$f$の関数値が$0$より小さい部分をすべて$0$に置き換えた関数である。また
$$ f(x)_{+}^{n}:=\left( f(x)_{+} \right)^{n} $$
と定義しよう。それならば、各$m=2,3,\dots$において、B-スプライン$N_{m}$は次のように表される。
$$ N_{m}(x) = \frac{1}{(m-1)!}\sum \limits_{j=0}^{m} \left( -1 \right)^{j}\binom{m}{j}\left( x-j \right)_{+}^{m-1},\quad x\in \mathbb{R} $$
証明
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Ole Christensen, Functions, Spaces, and Expansions: Mathematical Tools in Physics and Engineering (2010), p207 ↩︎