📂フーリエ解析

B-スプラインの明示的な公式

公式¹

関数$f: \mathbb{R}\to \mathbb{R}$に対して

$$f(x)_{+}:=\max \left( 0,f(x) \right)$$

としよう。つまり、$f_{+}$は$f$の関数値が$0$より小さい部分をすべて$0$に置き換えた関数である。また

$$f(x)_{+}^{n}:=\left( f(x)_{+} \right)^{n}$$

と定義しよう。それならば、各$m=2,3,\dots$において、B-スプライン$N_{m}$は次のように表される。

$$N_{m}(x) = \frac{1}{(m-1)!}\sum \limits_{j=0}^{m} \left( -1 \right)^{j}\binom{m}{j}\left( x-j \right)_{+}^{m-1},\quad x\in \mathbb{R}$$

証明

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