多変数関数の畳み込み

定義

$f,g:\mathbb{R}^{n}\to \mathbb{C}$ と $\mathbf{x},\mathbf{y} \in \mathbb{R}^{n}$ とする。そうすると、これら二つの多変数関数のコンボリューションは次のようになる。

$f \ast g(\mathbf{x})=\int f(\mathbf{y})g(\mathbf{x}-\mathbf{y})d\mathbf{y}$

この場合、上の積分は多変数関数の積分である。

多変数関数のコンボリューションも単変数関数のコンボリューションが満たすよい性質をそのまま満たす。

(a) 交換法則

$f \ast g = g \ast f$

(b) 分配法則

$f \ast (g+h)=f \ast g + f \ast h$

(c) 結合法則

$f\ast (g\ast h)=(f \ast g)\ast h$

(d) スカラー乗法の結合法則

$a(f \ast g)=(af \ast g)=(f\ast ag)$

(e) 微分

$\partial_{j}(f \ast g)=(\partial _{j}f) \ast g=f \ast (\partial _{j}g)\quad \text{where } \partial_{j}=\frac{ \partial }{ \partial_{j}}$

$g\in L^{1}$ と $\int g(\mathbf{x})d\mathbf{x}=1$ としよう。そして $g_{\epsilon (\mathbf{x})}=\epsilon^{-n}g(\epsilon^{-1}\mathbf{x})$ としよう。

(i) $f$ が有界であるか、 $g$ がある閉区間の外で $0$ だとしよう。そうすると $f \ast g$ はよく定義されていて、もし $f$ が $\mathbf{x}$ で連続ならば、次が成り立つ。
$\lim \limits_{\epsilon \to 0} f \ast g_{\epsilon}(\mathbf{x})=f(\mathbf{x})$
もし $f$ が閉じていて有界な $D$ 上で連続ならば、上の収束は $D$ 上で一様収束である。
(ii) もし $f\in L^{2}$ ならば、次が成り立つ。
$\lim \limits_{\epsilon \to 0} \left\| f \ast g_{\epsilon}-f \right\| =0$