📂ベクトル分析

多変数関数の積分

定義¹

$I^{k}$をk-cell、$\mathbf{x} \in I^{k}$としよう。

$$ \mathbf{x} = (x_{1},\dots,x_{k}),\quad a_{i} \le x_{i} \le b_{i} (i=1,\dots,k) $$

$f: I^{k} \to \mathbb{R}$が連続であるとしよう。それならば、積分可能なので$f=f_{k}$とし、$f_{k-1} : I^{k-1} \to \mathbb{R}$を次のように定義しよう。

$$ f_{k-1} (x_{1}, \dots, x_{k-1}) = \int_{a_{k}}^{b_{k}} f_{k}(x_{1}, \dots, x_{k}) dx_{k} $$

すると、ライプニッツの定理により、$f_{k-1}$は$I^{k-1}$で連続である。このプロセスを$k$回繰り返すと、定数$f_{0}\in \mathbb{R}$を得る。これを**$I^{k}$上での$f$の**積分と呼び、次のように表記する。

$$ \begin{equation} \int_{I^{k}} f(\mathbf{x}) d\mathbf{x} \quad \text{or} \quad \int_{I^{k}}f \label{eq1} \end{equation} $$

説明

このような積分の定義は、積分の順序に依存しているように見えるかもしれない。しかし実際には、$f$の積分値は積分順序に影響されない。

定理

$\eqref{eq1}$を$L(f)$としよう。積分順序が異なる別の$f$の積分を$L^{\prime}(f)$としよう。すると$I^{k}$で連続なすべての$f$に対して、次が成立する。

$$ L(f) = L^{\prime}(f) $$

証明

関数$h$を次のように置こう。

$$ h(\mathbf{x}) = h_{1}(x_{1}) h_{2}(x_{2}) \cdots h_{k}(x_{k}),\quad h_{j}\in \href{https://freshrimpsushi.github.io/posts/support-and-classes-of-continuous-functions/}{C([a_{j},b_{j}])} $$

すると、次が成立する。

$$ L(h) = \prod \limits_{i=1}^{k} \int_{a_{i}}^{b_{i}}h_{i}(x_{i})dx_{i} = L^{\prime}(h) $$

今、$\mathscr{A}$をこのような$h$たちのすべての有限和の集合としよう。

$$ \mathscr{A} = \left\{ \text{all of finite sums of such functions h} \right\} $$

すると、積分は線形なので、次が成立する。

$$ L(g) = L^{\prime}(g),\quad \forall g\in \mathscr{A} $$

また、$\mathscr{A}$は$I^{k}$上での代数となる。

代数

関数の集合$\mathscr{A}$がすべての$f,g \in \mathscr{A}$と定数$c$に対して次を満たす場合、代数と呼ぶ。

• $f + g \in \mathscr{A}$
• $fg \in \mathscr{A}$
• $cf \in \mathscr{A}$

これで、ストーン・ワイエルシュトラスの定理を適用すると、次の結果を得る。

• $V= \prod \limits_{i=1}^{k}(b_{i} - a_{i})$としよう。$f \in C(I^{k})$であり、$\varepsilon >0$が与えられたとしよう。すると、次を満たす$g\in \mathscr{A}$が存在する。 $$ \| f - g \| < \dfrac{\varepsilon}{V} $$ このとき、ノルムは$\| f \| = \max | f |$として与えられる。

すると、次の不等式が成立する。

$$ \begin{align*} |L(f-g)| &\le L(\max|f-g|) = \| f-g \| V < \varepsilon \\ |L^{\prime}(f-g)| &\le L^{\prime}(\max|f-g|) = \| f-g \| V < \varepsilon \end{align*} $$

また、次の式が成立する。

$$ L(f) - L^{\prime}(f) = L(f) - L(g) + L^{\prime}(g) - L(f) = L(f-g) + L^{\prime}(g-f) $$

従って、次の式を得る。

$$ | L(f) - L^{\prime}(f) | = | L(f-g) + L^{\prime}(g-f) | < 2\varepsilon $$

これはすべての$\varepsilon$に対して成立するので、次を得る。

$$ L(f) = L^{\prime}(f) $$

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