シュワルツ空間における収束
📂シュワルツ超函数シュワルツ空間における収束
定義
{ϕn}をシュワルツ空間での数列としよう。全てのマルチインデックス α, βに対して数列 {xβDαϕn(x)}が 0に一様収束するなら、{ϕn}が 0に収束すると定義し、以下のように表記する。
ϕn→S0
説明
上の定義を一般化して、{ϕn−ϕ}が0に収束するなら、{ϕn}が ϕに収束すると言える。
∀α,β,(xβDαϕn−ϕ)→S0⟹ϕn→Sϕ
シュワルツ空間 Sは、超関数のフーリエ変換を適切に定義するために、テスト関数空間 Dを拡張したものだ。したがって、Dでの収束がSでの収束を保証する必要がある。
定理
{ϕn}がDで収束する数列だとしよう。すると、Sで収束する。
ϕn→D0⟹ϕn→S0
証明
{ϕn}がDで0に収束する数列だとしよう。定義により、全てのϕnに対して、以下を満たすコンパクトな集合 Kが存在する。
suppϕn⊂K
すると、ある正の数 r>0について、K⊂B(r)が成り立つ。ここで、B(r)は原点を中心とし、半径がrの閉球だ。したがって、次の式が成立する。
xβDαϕn(x)≤r∣β∣∣x∣≤rsup∣Dαϕn(x)∣,∀x∈Rn
このとき、仮定により、全てのαに対して、{Dαϕn}が0に一様収束する。だから、上の不等式により、{xβDαϕn(x)}も0に一様収束する。
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