logo

シュワルツ空間における収束 📂シュワルツ超函数

シュワルツ空間における収束

定義

{ϕn}\left\{ \phi_{n} \right\}シュワルツ空間での数列としよう。全てのマルチインデックス α\alpha, β\betaに対して数列 {xβDαϕn(x)}\left\{ \mathbf{x}^{\beta}D^{\alpha}\phi_{n}(\mathbf{x}) \right\}00一様収束するなら、{ϕn}\left\{ \phi_{n} \right\}00に収束すると定義し、以下のように表記する。

ϕnS0 \phi_{n} \overset{\mathcal{S}}{\to} 0

説明

上の定義を一般化して、{ϕnϕ}\left\{ \phi_{n}-\phi \right\}00に収束するなら、{ϕn}\left\{ \phi_{n} \right\}ϕ\phiに収束すると言える。

α,β,(xβDαϕnϕ)S0    ϕnSϕ \forall \alpha, \beta,\quad \left( \mathbf{x}^{\beta}D^{\alpha}\phi_{n} - \phi \right) \overset{\mathcal{S}}{\to} 0 \implies \phi_{n} \overset{\mathcal{S}}{\to} \phi

シュワルツ空間 S\mathcal{S}は、超関数のフーリエ変換を適切に定義するために、テスト関数空間 D\mathcal{D}を拡張したものだ。したがって、D\mathcal{D}での収束がS\mathcal{S}での収束を保証する必要がある。

定理

{ϕn}\left\{ \phi_{n} \right\}D\mathcal{D}で収束する数列だとしよう。すると、S\mathcal{S}で収束する。

ϕnD0    ϕnS0 \phi_{n} \overset{\mathcal{D}}{\to} 0 \implies \phi_{n} \overset{\mathcal{S}}{\to} 0

証明

{ϕn}\left\{ \phi_{n} \right\}D\mathcal{D}00に収束する数列だとしよう。定義により、全てのϕn\phi_{n}に対して、以下を満たすコンパクトな集合 KKが存在する。

suppϕnK \mathrm{supp}\phi_{n} \subset K

すると、ある正の数 r>0r>0について、KB(r)K\subset \overline{B}(r)が成り立つ。ここで、B(r)\overline{B}(r)は原点を中心とし、半径がrr閉球だ。したがって、次の式が成立する。

xβDαϕn(x)rβsupxrDαϕn(x),xRn \left| \mathbf{x}^{\beta}D^{\alpha}\phi_{n}(\mathbf{x}) \right|\le r^{\left| \beta \right| }\sup \limits_{\left| \mathbf{x} \right|\le r }\left| D^{\alpha}\phi_{n}(\mathbf{x}) \right| ,\quad \forall \mathbf{x}\in\mathbb{R}^{n}

このとき、仮定により、全てのα\alphaに対して、{Dαϕn}\left\{ D^{\alpha}\phi_{n} \right\}00に一様収束する。だから、上の不等式により、{xβDαϕn(x)}\left\{ \mathbf{x}^{\beta}D^{\alpha}\phi_{n}(\mathbf{x}) \right\}00に一様収束する。