📂シュワルツ超函数

超関数の畳み込み収束定理

定理¹

$\phi$が$\int_{\mathbb{R}^{n}}\phi (\mathbf{x})d\mathbf{x}=1$を満たすテスト関数だとしよう。そして$\phi_{\epsilon}(\mathbf{x})=\epsilon^{-n}\phi (\epsilon^{-1}\mathbf{x})$とする。そうすると、任意の超関数$F$と正則な超関数$T_{F*\phi_{\epsilon}}$に対して$\epsilon \to 0$の時、$T_{F*\phi_{\epsilon}}$は$F$に収束する。

$$T_{F * \phi_{\epsilon}} \overset{\text{w}}{\to} F\quad \text{as } \epsilon \to 0$$

説明

‘超関数の畳み込み収束定理’という名前は、上記の内容に特に名付けられた名前がないため、勝手に付けたものだ。

証明

$\tilde{\phi}(x)=\phi (-x)$としよう。すると、$\phi$と同じく、$\tilde{\phi}$も$\int \tilde{\phi}=1$である。それにより、畳み込み収束定理によれば、任意のテスト関数$\psi$に対して、以下の式が成り立つ。

$$\tilde{\phi}_{\epsilon} \ast \psi \overset{\text{unif}}{\to} \psi \quad \text{and} \quad \partial ^{\alpha} (\tilde{\phi}_{\epsilon} \ast \psi)=\tilde{\phi}_{\epsilon} \ast \partial^{\alpha}\psi \overset{\text{unif}}{\to} \partial^{\alpha}\psi$$

すると、以下の式が成立する。

$$\begin{align*} \lim \limits_{\epsilon \to 0} T_{F \ast \phi_{\epsilon}}(\psi) &= \lim \limits_{\epsilon \to 0}F(\tilde{\phi}_{\epsilon} \ast \psi) \\ &= F(\psi) \end{align*}$$

この時、最初の等号は超関数の畳み込み補助定理により成立し、二つ目の等号は超関数の連続条件により成立する。そうすると、超関数の収束の定義により、$T_{F*\phi_{\epsilon}}$は$F$に収束する。

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