📂シュワルツ超函数

超関数の畳み込み、実数で定義された関数としての超関数

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超関数論の目的は、ディラックのデルタ関数などナイーブに定義されたものを数学的に厳密に定義することである。したがって、関数空間で定義された超関数を実数空間で定義される関数として扱えるようにしなければならない。まず、超関数の微分、トランスレーションなどがどう定義されたかを考えてみよう。

超関数は定義域が関数空間なので、既存の概念としての微分などが定義できないと考えられており、代わりにテスト関数に対してその作用を考える。この方法と似ている方式で、超関数とテスト関数の畳み込みを定義しようとする。まず、局所積分可能な関数$u$と、それに対応する正則超関数$T_{u}$が与えられているとしよう。$u$とテスト関数$\phi$の畳み込みは次の通りだ。

$$u \ast \phi (\mathbf{x}) =\int u(\mathbf{y})\phi (\mathbf{x}-\mathbf{y})d\mathbf{y},\quad \mathbf{x},\mathbf{y}\in \mathbb{R}^{n}$$

$T_{u}$と$\phi$を畳み込みできないので、$T_{u}$に対応する$u$と$\phi$の畳み込みを$T_{u}$と$\phi$の畳み込みとして定義しよう。

$$T_{u} \ast \phi (\mathbf{x}):=\int u(\mathbf{y})\phi (\mathbf{x}-\mathbf{y})d\mathbf{y}=u\ast \phi (\mathbf{x})$$

しかし、ある関数$f$に対して$\tilde{f}(y)=f(-y)$、$f_{x}(y)=f(y-x)$とすると、次が成り立つ。

$$\tilde{f}_{x}(y)=\tilde{f}(y-x)=f(x-y)$$

したがって、$T_{u} \ast \phi$は次のように表記できる。

$$T_{u}\ast \phi (\mathbf{x}):=\int u(\mathbf{y})\tilde{\phi}_{\mathbf{x}}(\mathbf{y})d\mathbf{y}=T_{u}(\tilde{\phi}_{\mathbf{x}})$$

結局のところ、超関数とテスト関数の畳み込みを次のように定義する。

定義

$T$を超関数、$\phi$をテスト関数とする。$T$と$\phi$の畳み込みを次のように定義する。

$$T \ast \phi (\mathbf{x}) :=T(\tilde{\phi}_{\mathbf{x}})=T(\phi (\mathbf{x}-\cdot))$$

説明

このような定義により、関数空間が定義域の超関数$T$は、実数空間$\mathbb{R}$上に定義されているかのように考えられる。したがって、古典的な意味での連続性、微分などについて語ることができるようになる。実際に、次の定理が成り立つ。

定理

$T$が超関数、$\phi$がテスト関数とする。すると、次が成り立つ。

$$T\ast \phi \in C^{\infty} \quad \text{and} \quad \partial^{\alpha}(T\ast \phi)=T\ast \partial^{\alpha}\phi$$

証明

簡略化のため、一次元と仮定しよう。あるテスト関数$\phi$に対して、以下の式が成り立つ$r>0$が存在する。

$$\mathrm{supp}\phi \subset [-r,r]$$

また、ある関数$f :\mathbb{R}\to \mathbb{C}$が$\left| x \right| \le C$、$\left| h \right| \le 1$に対して$f(y)=\phi (x+h-y)$として定義された関数であるとすると、次の式が成り立つ。

$$\mathrm{supp}f \subset [-R,R],\quad R=r+C+1$$

これで、$\psi$と$\Psi$を次のように定義しよう。

$$\begin{align*} \psi_{x,h}(y) =&\ \phi (x+h-y)-\phi (x-y) \\ \Psi_{x,h}(y) =&\ \frac{\phi (x+h-y)-\phi (x-y) }{h}-\phi^{\prime}(x-y) \end{align*}$$

すると、次が成り立つ。

$$\begin{align*} \mathrm{supp} \psi_{x,h} &\subset [-R,R] \\ \mathrm{supp} \Psi_{x,h}&\subset[-R,R] \end{align*}$$

また、$\phi$がテスト関数であるため、$\psi_{x,h}$、$\Psi_{x,h}$は微分可能であり、$\psi_{x,h}$、$\Psi_{x,h}$およびそれらの導関数たちは$h \to 0$の時$0$に一様収束する。したがって、超関数の連続性条件により、以下の式が成り立つ。

$$\begin{align*} \lim \limits_{h\to 0} \big[ \left( T \ast \phi \right)(x+h)- (T\ast \phi)(x) \big] =&\ \lim \limits_{h\to 0} \big[ T(\tilde{\phi}_{x+h}) -T(\tilde{\phi}_{x}) \big] \\ =&\ \lim \limits_{h\to 0} T(\tilde{\phi}_{x+h}-\tilde{\phi}_{x}) \\ =&\ \lim \limits_{h\to 0} T(\psi_{x,h}) \\ =&\ T(0) \\ =&\ 0 \end{align*}$$

したがって、$T\ast \phi$は連続である。また、次の式が成り立つ。

$$\begin{align*} \lim \limits_{h\to 0} \left[ \frac{ \left( T \ast \phi \right)(x+h)- (T\ast \phi)(x) }{h}- (T\ast \phi^{\prime})(x)\right] =&\ \lim \limits_{h\to 0} \left[ \frac{ T(\tilde{\phi}_{x+h}) -T(\tilde{\phi}_{x}) }{h}- T(\tilde{\phi^{\prime}}_{x})\right] \\ =&\ \lim \limits_{h\to 0} T\left( \frac{ \tilde{\phi}_{x+h} - \tilde{\phi}_{x} }{h}- \tilde{\phi^{\prime}}_{x}\right) \\ =&\ \lim \limits_{h \to 0}T \left( \Psi_{x,h} \right) \\ =&\ T(0) \\ =&\ 0 \end{align*}$$

したがって、$T\ast \phi$は微分可能であり、その導関数は$T\ast \phi^{\prime}$である。同じ方法で、$T\ast \phi$の$n$階の導関数は以下の通りであることがわかる。

$$\left( T \ast \phi \right)^{(n)}=T\ast \phi^{(n)}\quad \forall n\in \mathbb{N}$$

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