均等収束の必要十分条件
定理1
距離空間 $E$で定義された関数列$\left\{ f_{n} \right\}$が与えられたとしよう。次の二つの条件は同値である。
- $\left\{ f_{n} \right\}$が$E$上で一様収束する。
- 全ての$\varepsilon>0$に対して、次の式を満たす自然数$N$が存在する。 $$ \begin{equation} \quad m,n\ge N,\ x\in E \implies \left| f_{n}(x)-f_{m}(x) \right| \le \varepsilon \end{equation} $$
説明
言い換えれば、全ての$x \in E$に対して$\left\{ f_{n}(x) \right\}$がコーシー列であることと、$\left\{ f_{n} \right\}$が$E$で一様収束することは同じことである。
証明
$(\implies)$
$\left\{ f_{n} \right\}$が$f$に一様収束すると仮定しよう。すると定義により次の式を満たす自然数$N$が存在する。
$$ n \le N, x\in E \implies \left| f_{n}(x)- f(x) \right| \le \frac{\varepsilon}{2} $$
よって、$n,m\ge N$、$x\in E$に対して次の式が成り立つ。
$$ \begin{align*} \left| f_{n}(x)-f_{m}(x) \right| &= \left| f_{n}(x)-f(x)+f(x)-f_{m}(x) \right| \\ &\le \left| f_{n}(x)-f(x) \right| + \left|f(x)-f_{m}(x) \right| \\ &\le \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon \end{align*} $$
$(\impliedby)$
仮定により$\left\{ f_{n}(x) \right\}$がコーシー列なので収束する。この極限を$f(x)$としよう。すると、$\left\{ f_{n} \right\}$は$E$で点ごとに$f$に収束する。
ここで、この収束が一様収束であることを示せば証明が完了する。$\varepsilon >0$が与えられたとしよう。そして▻eq24◁を満たすような$N$を選ぼう。そして固定された$n$に対して$(1)$に$m \to \infty$として極限を取ろう。すると次が成り立つ。
$$ \lim \limits_{m\to \infty}f_{m}(x)=f(x) $$
よって、全ての$n\ge N$、$x\in E$に対して次が成り立つ。
$$ \lim \limits_{m\to \infty}\left| f_{n}(x)-f_{m}(x) \right| =\left| f_{n}(x)-f(x) \right| \le \varepsilon $$
したがって、$\left\{ f_{n} \right\}$は$f$に一様収束する。
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定理2
距離空間$E$と$x \in E$について次が成立するとしよう。
$$ \lim \limits_{n\to \infty} f_{n}(x) =f(x) $$
$M_{n}$を次のように置く。
$$ M_{n}=\sup \limits_{x\in E}\left| f_{n}(x)-f(x) \right| $$
すると、次の二つの条件は同値である。
$\left\{ f_{n} \right\}$が$E$で$f$に一様収束する。
$\lim \limits_{n \to \infty}M_{n}=0$
説明
一様収束の定義を考えれば、同じことを別の言い方で書いているのと同じです。