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均等収束の必要十分条件 📂解析学

均等収束の必要十分条件

定理1

距離空間 EEで定義された関数列{fn}\left\{ f_{n} \right\}が与えられたとしよう。次の二つの条件は同値である。

  • {fn}\left\{ f_{n} \right\}がEE上で一様収束する。
  • 全てのε>0\varepsilon>0に対して、次の式を満たす自然数NNが存在する。 m,n≥N, x∈E  ⟹  ∣fn(x)−fm(x)∣≤ε \begin{equation} \quad m,n\ge N,\ x\in E \implies \left| f_{n}(x)-f_{m}(x) \right| \le \varepsilon \end{equation}

説明

言い換えれば、全てのx∈Ex \in Eに対して{fn(x)}\left\{ f_{n}(x) \right\}がコーシー列であることと、{fn}\left\{ f_{n} \right\}がEEで一様収束することは同じことである。

証明

  • (  ⟹  )(\implies)

    {fn}\left\{ f_{n} \right\}がffに一様収束すると仮定しよう。すると定義により次の式を満たす自然数NNが存在する。

    n≤N,x∈E  ⟹  ∣fn(x)−f(x)∣≤ε2 n \le N, x\in E \implies \left| f_{n}(x)- f(x) \right| \le \frac{\varepsilon}{2}

    よって、n,m≥Nn,m\ge N、x∈Ex\in Eに対して次の式が成り立つ。

    ∣fn(x)−fm(x)∣=∣fn(x)−f(x)+f(x)−fm(x)∣≤∣fn(x)−f(x)∣+∣f(x)−fm(x)∣≤ε2+ε2=ε \begin{align*} \left| f_{n}(x)-f_{m}(x) \right| &= \left| f_{n}(x)-f(x)+f(x)-f_{m}(x) \right| \\ &\le \left| f_{n}(x)-f(x) \right| + \left|f(x)-f_{m}(x) \right| \\ &\le \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon \end{align*}

  • (  ⟸  )(\impliedby)

    仮定により{fn(x)}\left\{ f_{n}(x) \right\}がコーシー列なので収束する。この極限をf(x)f(x)としよう。すると、{fn}\left\{ f_{n} \right\}はEEで点ごとにffに収束する。

    ここで、この収束が一様収束であることを示せば証明が完了する。ε>0\varepsilon >0が与えられたとしよう。そして▻eq24◁を満たすようなNNを選ぼう。そして固定されたnnに対して(1)(1)にm→∞m \to \inftyとして極限を取ろう。すると次が成り立つ。

    lim⁡m→∞fm(x)=f(x) \lim \limits_{m\to \infty}f_{m}(x)=f(x)

    よって、全てのn≥Nn\ge N、x∈Ex\in Eに対して次が成り立つ。

    lim⁡m→∞∣fn(x)−fm(x)∣=∣fn(x)−f(x)∣≤ε \lim \limits_{m\to \infty}\left| f_{n}(x)-f_{m}(x) \right| =\left| f_{n}(x)-f(x) \right| \le \varepsilon

    したがって、{fn}\left\{ f_{n} \right\}はffに一様収束する。

    ■

定理2

距離空間EEとx∈Ex \in Eについて次が成立するとしよう。

lim⁡n→∞fn(x)=f(x) \lim \limits_{n\to \infty} f_{n}(x) =f(x)

MnM_{n}を次のように置く。

Mn=sup⁡x∈E∣fn(x)−f(x)∣ M_{n}=\sup \limits_{x\in E}\left| f_{n}(x)-f(x) \right|

すると、次の二つの条件は同値である。

  • {fn}\left\{ f_{n} \right\}がEEでffに一様収束する。

  • lim⁡n→∞Mn=0\lim \limits_{n \to \infty}M_{n}=0

説明

一様収束の定義を考えれば、同じことを別の言い方で書いているのと同じです。