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平方数の和を求める 📂レンマ

平方数の和を求める

公式

k=1nk2=n(n+1)(2n+1)6\displaystyle \sum_{k=1}^{n} { k^2} = {{n(n+1)(2n+1)} \over {6}}

導出

一つ高い次数のk3k^3(k1)3(k-1)^3の差を考えよう。

1303=31231+12313=32232+13323=33233+1n3(n1)3=3n23n+1 1^3 - 0^3 = 3 \cdot 1^2 - 3 \cdot 1 + 1 \\ 2^3 - 1^3 = 3 \cdot 2^2 - 3 \cdot 2 + 1 \\ 3^3 - 2^3 = 3 \cdot 3^2 - 3 \cdot 3 + 1 \\ \vdots \\ n^3 - (n-1)^3 = 3n^2 - 3n + 1

両辺をそれぞれ全て足すと、

n303=3k=1nk23k=1nk+n n^3 - 0^3 = 3 \sum_{k=1}^{n} { k^2} - 3 \sum_{k=1}^{n} { k} + n

自然数の和k=1nk=n(n+1)2\displaystyle \sum_{k=1}^{n} {k} = {{n(n+1)} \over {2}}であることを知っている。

上の式をk=1nk2\displaystyle \sum_{k=1}^{n} { k^2}について整理すると、公式を得る。

解説

自然数の和の公式と同様に、入試準備をする際に非常によく使う公式の一つだ。もちろん、高校を卒業した後は自然数の和ほど頻繁には使われないが、証明方法がかなり面白い。

一般化

k=1nk3={n(n+1)2}2\displaystyle \sum_{k=1}^{n} { k^3} = \left\{ { {n(n+1)} \over {2} } \right\} ^ 2

二乗ではなく、さらに高い次数の和も同じ証明法で求めることができる。例えば、立方数の和は上記のとおりである。

nn乗数の和の公式で、最高次項の係数だけ考えてみれば面白い性質がある。

  • 11乗、すなわち自然数の和はk=1nk=n(n+1)2\displaystyle \sum_{k=1}^{n} {k} = {{n(n+1)} \over {2}}であり、最高次項の係数は1/21/2である。
  • 22乗ならばk=1nk2=n(n+1)(2n+1)6\displaystyle \sum_{k=1}^{n} { k^2} = {{n(n+1)(2n+1)} \over {6}}であるため2/6=1/32/6 = 1/3だ。
  • 33乗ならばk=1nk3={n(n+1)2}2\displaystyle \sum_{k=1}^{n} { k^3} = \left\{ { {n(n+1)} \over {2} } \right\} ^ 2であるため1/41/4だ。

44乗に関する公式も同じ方法で求めることができるだろうし、おそらく最高次項の係数は1/51/5ではないだろうか?結論から言うと、そうだ。区分求積法を通じて定積分と関連づけて考えれば、その理由を簡単に理解できるだろう。 limnk=1n(kn)t=01xt1dx=1t \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \left( k \over n \right) ^{t} = \int_{0}^{1} x^{t-1} dx = {1 \over t} 自然数 ttに対して上の式が成り立つことを示すのは難しくない。実に、数学の魅力と言えるだろう。