平方数の和を求める
公式
$$\displaystyle \sum_{k=1}^{n} { k^2} = {{n(n+1)(2n+1)} \over {6}}$$
導出
一つ高い次数の$k^3$と$(k-1)^3$の差を考えよう。
$$ 1^3 - 0^3 = 3 \cdot 1^2 - 3 \cdot 1 + 1 \\ 2^3 - 1^3 = 3 \cdot 2^2 - 3 \cdot 2 + 1 \\ 3^3 - 2^3 = 3 \cdot 3^2 - 3 \cdot 3 + 1 \\ \vdots \\ n^3 - (n-1)^3 = 3n^2 - 3n + 1 $$
両辺をそれぞれ全て足すと、
$$ n^3 - 0^3 = 3 \sum_{k=1}^{n} { k^2} - 3 \sum_{k=1}^{n} { k} + n $$
自然数の和が$\displaystyle \sum_{k=1}^{n} {k} = {{n(n+1)} \over {2}}$であることを知っている。
上の式を$\displaystyle \sum_{k=1}^{n} { k^2}$について整理すると、公式を得る。
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解説
自然数の和の公式と同様に、入試準備をする際に非常によく使う公式の一つだ。もちろん、高校を卒業した後は自然数の和ほど頻繁には使われないが、証明方法がかなり面白い。
一般化
$$\displaystyle \sum_{k=1}^{n} { k^3} = \left\{ { {n(n+1)} \over {2} } \right\} ^ 2 $$
二乗ではなく、さらに高い次数の和も同じ証明法で求めることができる。例えば、立方数の和は上記のとおりである。
$n$乗数の和の公式で、最高次項の係数だけ考えてみれば面白い性質がある。
- $1$乗、すなわち自然数の和は$\displaystyle \sum_{k=1}^{n} {k} = {{n(n+1)} \over {2}}$であり、最高次項の係数は$1/2$である。
- $2$乗ならば$\displaystyle \sum_{k=1}^{n} { k^2} = {{n(n+1)(2n+1)} \over {6}}$であるため$2/6 = 1/3$だ。
- $3$乗ならば$\displaystyle \sum_{k=1}^{n} { k^3} = \left\{ { {n(n+1)} \over {2} } \right\} ^ 2$であるため$1/4$だ。
$4$乗に関する公式も同じ方法で求めることができるだろうし、おそらく最高次項の係数は$1/5$ではないだろうか？結論から言うと、そうだ。区分求積法を通じて定積分と関連づけて考えれば、その理由を簡単に理解できるだろう。 $$ \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \left( k \over n \right) ^{t} = \int_{0}^{1} x^{t-1} dx = {1 \over t} $$ 自然数 $t$に対して上の式が成り立つことを示すのは難しくない。実に、数学の魅力と言えるだろう。